真题库

设$X_1,\dots ,X_n$为来自均值为$\theta$的指数分布总体的简单随机样本，$Y_1,\dots ,Y_m$为来自均值为$2\theta$的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中$\theta >0$是未知参数。

已知可微函数$f(u,v)$满足$f_u-f_v=2(u-v){\mathrm{e}}^{-(u+v)}$，且$f(u,0)=u^2{\mathrm{e}}^{-u}$。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid y-2\le x\le \sqrt{4-y^2},0\le y\le 2\}$，计算$I={\iint }_D\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$满足条件$y(1)=3$的解，求曲线$y=y(x)$的渐近线。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+3x_3^2+2x_1{x}_3$。

已知曲线$L$是曲面$\Sigma :4x^2+y^2+z^2=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$的边界，曲面$\Sigma$方向朝上，曲线$L$的方向与曲面方向符合右手法则，计算$I={\oint }_L(y{z}^2-\cos z)\mathrm{d}x+2x{z}^2\mathrm{d}y+(2xyz+x\sin z)\mathrm{d}z$。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^{3}ij{x}_i{x}_j$。

设$D\subset {\mathbb{R}}^2$是有界单连通闭区域，$I(D)={\iint }_D(4-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$取得最大值的积分区域为$D_1$。

已知函数$f(x)=\frac{x|x|}{1+x}$，求曲线$y=f(x)$的凹凸区间及渐近线。

已知曲线$C:\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2-z=6\\ 4x+2y+z=30\end{array}$，求$C$上的点到$xOy$坐标面距离的最大值。

设有界区域$D$是圆$x^2+y^2=1$和直线$y=x$以及$x$轴在第一象限围成的部分，计算二重积分${\iint }_D{\mathrm{e}}^{(x+y{)}^2}(x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设函数$f(x)$满足$\int \frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\frac{1}{6}{x}^2-x+C$，$L$为曲线$y=f(x)(4\le x\le 9)$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t}{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{\sin x})$。

曲线$(x^2+y^2{)}^2=x^2-y^2(x\ge 0,y\ge 0)$与$x$轴围成的区域为$D$，求${\iint }_{D}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$n$为正整数，$y=y_n(x)$是微分方程$x{y}^{\prime }-(n+1)y=0$满足条件$y_n(1)=\frac{1}{n(n+1)}$的多项式解，定义在整个实数轴上。

求函数$f(x,y)=2\ln |x|+\frac{(x-1{)}^2+y^2}{2x^2}$的极值。

设$u_n(x)={\mathrm{e}}^{-nx}+\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}(n=1,2,\dots )$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 1& a& b\end{array}\right)$仅有两个不同的特征值，且$A$相似于对角矩阵。

已知$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& -1\\ 1& a& -1\\ -1& -1& a\end{array}\right)$。

在区间$(0,2)$上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为$X$，较长一段的长度为$Y$，令$Z=\frac{Y}{X}$。