真题库

某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养$x$万尾，乙种鱼放养$y$万尾，收获时两种鱼的收获量分别为$(3-\alpha x-\beta y)x$和$(4-\beta x-2\alpha y)y$，其中$\alpha >\beta >0$。求使产鱼总量最大的放养数。

计算${\int }_0^{1}x(1-x^4{)}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x$。

设$\{\begin{array}{l}x=\cos (t^2)\\ y=t\cos (t^2)-{\int }_1^{t^2}\frac{\cos u}{2\sqrt{u}}\mathrm{d}u\end{array}$。

设函数$y=\frac{x^3+4}{x^2}$。

已知$f(x,y)=x^2\arctan \frac{y}{x}-y^2\arctan \frac{x}{y}$，求$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$。

已知3阶矩阵$A$的逆矩阵为$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，试求其伴随矩阵$A^{\ast }$的逆矩阵。

运用导数的知识作函数$y=(x+6){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$的图形。

求微分方程$(x^2-1)\mathrm{d}y+(2xy-\cos x)\mathrm{d}x=0$满足初始条件$y{|}_{x=0}=1$的特解。

设$y=\sin [f(x^2)]$，其中$f$具有二阶导数，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

已知某厂生产$x$件产品的成本为$C=25000+200x+\frac{1}{40}{x}^2$（元）。

设随机变量$X$和$Y$独立，且都在区间$[1,3]$上服从均匀分布。引进事件$A=\{X\le a\}$，$B=\{Y>a\}$。

求$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}{)}^x$。

设物体$A$从点$(0,1)$出发，以速度大小为常数$v$沿$y$轴正向运动。物体$B$从点$(-1,0)$与$A$同时出发，其速度大小为$2v$，方向始终指向$A$。

求$\int \frac{x{\mathrm{e}}^x}{\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}}\mathrm{d}x$。

计算${\iint }_{\Sigma }2xz\mathrm{d}y\mathrm{d}z+yz\mathrm{d}z\mathrm{d}x-z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$是由曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与$z=\sqrt{2-x^2-y^2}$所围立体的表面外侧。

设在$[0,+\infty )$上函数$f(x)$有连续导数，且$f^{\prime }(x)\ge k>0$，$f(0)<0$，证明$f(x)$在$(0,+\infty )$内有且仅有一个零点。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-|x|}$，$-\infty <x<+\infty$。

求${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{1+\cos 2x}\mathrm{d}x$。

设$b>a>\mathrm{e}$，证明$a^b>b^a$。

设$z=f(x,y)$是由方程$z-y-x+x{\mathrm{e}}^{z-y-x}=0$所确定的二元函数，求$\mathrm{d}z$。