真题库

求级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n(n^2-n+1)}{2^n}$的和。

求微分方程$x^2{y}^{\prime }+xy=y^2$满足初始条件$y{|}_{x=1}=1$的特解。

已知$R^3$的两个基为${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$与${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\beta }_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right),{\beta }_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 3\end{array}\right)$，求由基${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$到基${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$的过渡矩阵。

设$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times m$矩阵，$E$是$n$阶单位矩阵（$m>n$）。已知$BA=E$，试判断$A$的列向量组是否线性相关？为什么？

求$\underset{x\to -\infty }{\lim }x(\sqrt{x^2+100}+x)$。

设线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+k{x}_3=4\\ -x_1+k{x}_2+x_3=k^2\\ x_1-x_2+2x_3=-4\end{array}$。

设某产品的成本函数为$C=a{q}^2+bq+c$，需求函数为$q=\frac{1}{e}(d-p)$，其中$C$为成本，$q$为需求量（即产量），$p$为单价，$a,b,c,d,e$都是正常数，且$d>b$。

作半径为$r$的球的外切正圆锥。

设随机变量$X$和$Y$同分布，$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{8}{x}^2,& 0<x<2\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

假设函数$y=f(x)$（$0\le x<+\infty$）满足以下条件：（1）$f(0)=0$且$0\le f(x)\le {\mathrm{e}}^x-1$；（2）平行于$y$轴的动直线$MN$与曲线$y=f(x)$和$y={\mathrm{e}}^x-1$分别相交于点$P_1$和$P_2$；（3）曲线$y=f(x)$、直线$MN$与$x$轴所围封闭图形的面积$S$恒等于线段$P_1{P}_2$的长度。求函数$y=f(x)$的表达式。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2a{x}_2{x}_3$（$a>0$）通过正交变换化成标准形$f=y_1^2+2y_2^2+5y_3^2$。

设$p,q$是大于$1$的常数，且$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。证明：对于任意$x>0$，有$\frac{1}{p}{x}^p+\frac{1}{q}\ge x$。

设二阶常系数线性微分方程$y^{\prime \prime }+\alpha y^{\prime }+\beta y=\gamma {\mathrm{e}}^x$的一个特解为$y={\mathrm{e}}^{2x}+(1+x){\mathrm{e}}^x$。

设$A$是$n\times m$矩阵，$B$是$m\times n$矩阵，其中$n<m$，$E$是$n$阶单位矩阵。若$AB=E$，证明$B$的列向量组线性无关。

设$f^{\prime }(x)$在$[0,a]$上连续，且$f(0)=0$，证明：$|{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x|\le \frac{M{a}^2}{2}$，其中$M={\max }_{0\le x\le a}|f^{\prime }(x)|$。

设$z=x^{3}f(xy,\frac{y}{x})$，$f$具有连续二阶偏导数。

假设一大型设备在任意长为$t$的时间内发生故障的次数$N(t)$服从参数为$\lambda t$的泊松分布。

假设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内二阶可导。过点$A(0,f(0))$与$B(1,f(1))$的直线与曲线$y=f(x)$相交于点$C(c,f(c))$，其中$0<c<1$。证明：在$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime \prime }(\xi )=0$。

设平面图形$A$由$x^2+y^2\le 2x$与$y\ge x$所确定，求图形$A$绕直线$x=2$旋转一周所得旋转体的体积。

已知$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x-a}{x+a}{)}^x={\int }_a^{+\infty }4x^2{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x$，求常数$a$的值。