真题库

设$x>0$，常数$a>\mathrm{e}$，证明：$(a+x{)}^a<a^{a+x}$。

求${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{(1+x{)}^3}\mathrm{d}x$。

设二次型$f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\alpha x_1{x}_2+2\beta x_2{x}_3+2x_1{x}_3$经正交变换$X=PY$化成$f=y_2^2+2y_3^2$，其中$X=(x_1,x_2,x_3{)}^T$和$Y=(y_1,y_2,y_3{)}^T$是三维列向量，$P$是3阶正交矩阵。求常数$\alpha ,\beta$。

求极限$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln \cos (x-1)}{1-\sin \frac{\pi x}{2}}$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x^2,& x\le 0\\ {\mathrm{e}}^{-x},& x>0\end{array}$，求${\int }_1^{3}f(x-2)\mathrm{d}x$。

设矩阵$A$与$B$相似，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 2& x& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right)$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \cos (x-1)}{1-\sin \frac{\pi x}{2}},& x\ne 1\\ 1,& x=1\end{array}$。

设曲线方程为$y={\mathrm{e}}^{-x}$（$x\ge 0$）。

求微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=x{\mathrm{e}}^x$的通解。

设随机变量$X$与$Y$独立，$X$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，$Y$服从$[-\pi ,\pi ]$上的均匀分布。求$Z=X+Y$的概率密度（计算结果用标准正态分布函数$\Phi (x)$表示，其中$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$）。

设函数$y=y(x)$由方程$y-x{\mathrm{e}}^y=1$所确定，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=0}$的值。

一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为$0.10,0.20,0.30$。假设各部件的状态相互独立，以$X$表示同时需要调整的部件数。

设生产某产品的固定成本为$10$，而当产量为$x$时的边际成本函数为$MC=-40-20x+3x^2$，边际收入函数为$MR=32+10x$。

设线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-2x_3=0\\ 2x_1-x_2+\lambda x_3=0\\ 3x_1+x_2-x_3=0\end{array}$的系数矩阵为$A$，三阶矩阵$B\ne O$，且$AB=O$。试求$\lambda$的值。

在变力$\vec{F}=yz\vec{i}+zx\vec{j}+xy\vec{k}$的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$上第一卦限的点$M(\xi ,\eta ,\zeta )$。

计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }(x^3+a{z}^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^3+a{x}^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z^3+a{y}^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$为上半球面$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$的上侧。

设$3$阶矩阵$A$的特征值为${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=3$，对应的特征向量依次为${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，${\xi }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$，${\xi }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 9\end{array}\right)$，又向量$\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$。

求$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{3+x}{6+x}{)}^{\frac{x-1}{2}}$。

求微分方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }-3y={\mathrm{e}}^{-3x}$的通解。

已知三阶矩阵$B\ne 0$，且$B$的每一个列向量都是以下方程组的解：$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-2x_3=0\\ 2x_1-x_2+\lambda x_3=0\\ 3x_1+x_2-x_3=0\end{array}$。