真题库

假设测量的随机误差$X\sim N(0,10^2)$。在$100$次独立重复测量中，以$\alpha$表示至少有三次测量误差的绝对值大于$19.6$的概率（要求小数点后取两位有效数字）。附表：

求证：当$x\ge 1$时，$\arctan x-\frac{1}{2}\arccos \frac{2x}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}$。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^2}}$。

求微分方程$(y-x^3)\mathrm{d}x-2x\mathrm{d}y=0$的通解。

证明不等式$\ln (1+\frac{1}{x})>\frac{1}{1+x}$（$0<x<+\infty$）。

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点$P(x,y)$处的曲率等于此曲线在该点的法线段$PQ$长度的倒数，其中$Q$是法线与$x$轴的交点，且曲线在点$(1,1)$处的切线与$x$轴平行。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+\sqrt{1+x^2}{)}^{\frac{1}{x}}$。

设总体$X$的概率密度为$p(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda a{x}^{a-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda x^a},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$，其中$\lambda >0$是未知参数，$a>0$是已知常数。试根据来自总体$X$的简单随机样本$x_1,x_2,\cdots ,x_n$，求$\lambda$的最大似然估计量$\hat{\lambda }$。

已知向量$\alpha =(1,k,1{)}^T$是矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$的逆矩阵$A^{-1}$的特征向量，求常数$k$的值。

设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$3{\int }_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0)$。证明在$(0,1)$内存在一点$c$，使$f^{\prime }(c)=0$。

设函数$f(x)=2+|x|$（$-1\le x\le 1$）以$2$为周期延拓。

利用导数证明：当$x>1$时，有不等式$\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}$。

设随机变量$X$和$Y$在圆域$x^2+y^2\le r^2$上服从联合均匀分布。

如图，$A$和$D$分别是曲线$y={\mathrm{e}}^x$和$y={\mathrm{e}}^{-2x}$上的点，$AB$和$DC$均垂直于$x$轴，且$|AB|:|DC|=2:1$，$|AB|<1$。求点$B$和$C$的横坐标，使梯形$ABCD$的面积最大。

证明$n$维列向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关的充分必要条件是$D=\left|\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^T{\alpha }_1& {\alpha }_1^T{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_1^T{\alpha }_n\\ {\alpha }_2^T{\alpha }_1& {\alpha }_2^T{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_2^T{\alpha }_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\alpha }_n^T{\alpha }_1& {\alpha }_n^T{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n^T{\alpha }_n\end{array}\right|\ne 0$，其中${\alpha }_i^T$表示列向量${\alpha }_i$的转置，$i=1,2,\cdots ,n$。

设$A$为$n$阶正定阵，$E$是$n$阶单位阵。证明$A+E$的行列式大于$1$。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内满足$f(x)=f(x-\pi )+\sin x$，且$f(x)=x$（$x\in [0,\pi )$），计算${\int }_{\pi }^{3\pi }f(x)\mathrm{d}x$。

设$\{\begin{array}{l}x=t\cos t\\ y=t\sin t\end{array}$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

已知${\alpha }_1=(1,0,2,3)$，${\alpha }_2=(1,1,3,5)$，${\alpha }_3=(1,-1,a+2,1)$，${\alpha }_4=(1,2,4,a+8)$，及$\beta =(1,1,b+3,5)$。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^2({\mathrm{e}}^x-1)}$。