真题库

计算二重积分$I={\iint }_{D}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由$x$轴、$y$轴与曲线$\sqrt{\frac{x}{a}}+\sqrt{\frac{y}{b}}=1$所围成的区域，$a>0,b>0$。

证明函数$f(x)=(1+\frac{1}{x}{)}^x$在区间$(0,+\infty )$内单调增加。

计算$I={\iint }_S-y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$S$是圆柱面$x^2+y^2=4$被平面$x+z=2$和$z=0$所截出部分的外侧。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{-(x+2y)},& x>0,y>0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求随机变量$Z=X+2Y$的分布函数。

曲线$y=(x-1)(x-2)$和$x$轴围成一平面图形，求此平面图形绕$y$轴旋转一周所成的旋转体的体积。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}+\cdots +{\mathrm{e}}^{nx}}{n}{)}^{\frac{1}{x}}$，其中$n$是给定的自然数。

在过点$O(0,0)$和$A(\pi ,0)$的曲线族$y=a\sin x$（$a>0$）中，求一条曲线$L$，使沿该曲线从$O$到$A$的积分${\int }_L(1+y^3)\mathrm{d}x+(2x+y)\mathrm{d}y$的值最小。

求微分方程$x{y}^{\prime }+y=x{\mathrm{e}}^x$满足$y(1)=1$的特解。

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为$p_1,p_2$，销售量分别为$q_1,q_2$，需求函数分别为$q_1=24-0.2p_1$和$q_2=10-0.05p_2$，总成本函数为$C=35+40(q_1+q_2)$。

求不定积分$I=\int \frac{x^2}{1+x^2}\arctan x\mathrm{d}x$。

考虑二次型$f=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+2\lambda x_1{x}_2-2x_1{x}_3+4x_2{x}_3$。问$\lambda$取何值时，$f$为正定二次型？

设$\vec{n}$是曲面$2x^2+3y^2+z^2=6$在点$P(1,1,1)$处指向外侧的法向量。求函数$u=\frac{\sqrt{6x^2+8y^2}}{z}$在点$P$处沿方向$\vec{n}$的方向导数。

计算${\int }_1^4\frac{\mathrm{d}x}{x(1+\sqrt{x})}$。

求${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z)\mathrm{d}V$，其中$\Omega$是由曲线$\{\begin{array}{l}{y}^2=2z\\ x=0\end{array}$绕$z$轴旋转一周而成的曲面与平面$z=4$所围成的立体。

求定积分$I={\int }_{-1}^1(2x+|x|+1{)}^2\mathrm{d}x$。

已知$xy=xf(z)+yg(z)$，$x{f}^{\prime }(z)+y{g}^{\prime }(z)\ne 0$，其中$z=z(x,y)$是$x$和$y$的函数。求证$[x-g(z)]\frac{\partial z}{\partial x}=[y-f(z)]\frac{\partial z}{\partial y}$。

设$n$阶矩阵$A$和$B$满足条件$A+B=AB$。

计算反常积分${\int }_3^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(x-1{)}^4\sqrt{x^2-2x}}$。

在电源电压不超过$200$伏、在$200$—$240$伏和超过$240$伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为$0.1,0.001,0.2$。假设电源电压$X$服从正态分布$N(220,25^2)$。附表中$\Phi (x)$是标准正态分布函数：

求$\int x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x$。