真题库

曲线$L_1:y=1-x^2$（$0\le x\le 1$）、$x$轴和$y$轴所围区域被曲线$L_2:y=a{x}^2$分为面积相等的两部分，其中$a$是大于零的常数，试确定$a$的值。

求极限$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\cos \sqrt{x}{)}^{\frac{\pi }{x}}$。

设有三维列向量${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1\\ 1\end{array}\right)$，${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right)$，${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1+\lambda \end{array}\right)$，$\beta =\left(\begin{array}{c}0\\ \lambda \\ {\lambda }^2\end{array}\right)$。

一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口。每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以$X$表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求$X$的概率分布。

求微分方程$xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^2+y^2$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=2\mathrm{e}$的特解。

求微分方程$y^{\prime \prime }+y=x+\cos x$的通解。

一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口。每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以$X$表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数。

在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的第一象限部分上求一点$P$，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小，其中$a>0,b>0$。

设不恒为常数的函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。证明在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^{\prime }(\xi )>0$。

设方阵$A$满足$A^{T}A=E$，其中$A^T$是$A$的转置矩阵，$E$为单位阵。证明$A$的特征值的绝对值等于$1$。

求微分方程$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y={\mathrm{e}}^{ax}$的通解，其中$a$为实数。

设四阶矩阵$B=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 4\\ 0& 2& 1& 3\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right)$，且矩阵$A$满足关系式$A(E-C^{-1}B{)}^{\prime }{C}^{\prime }=E$，其中$E$为四阶单位矩阵，$C^{-1}$表示$C$的逆矩阵，$C^{\prime }$表示$C$的转置矩阵。

甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为$0.2$，乙的命中率为$0.5$。以$X$和$Y$分别表示甲和乙的命中次数，求$X$和$Y$的联合概率分布。

求微分方程$y^{\prime }+y\cos x=(\ln x){\mathrm{e}}^{-\sin x}$的通解。

证明：当$x>0$时，有不等式$\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi }{2}$。

设二维随机变量$(X,Y)$在区域$D:0<x<1,|y|<x$内服从均匀分布，并令$Z=2X+1$。

过点$P(1,0)$作抛物线$y=\sqrt{x-2}$的切线，该切线与上述抛物线及$x$轴围成一个平面图形。求此图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积。

计算二重积分${\iint }_{D}x{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是曲线$y=4x^2$和$y=9x^2$在第一象限所围成的区域。

一电子仪器由两个部件构成，以$X$和$Y$分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）。已知$X$和$Y$的联合分布函数为$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-0.5x}-{\mathrm{e}}^{-0.5y}+{\mathrm{e}}^{-0.5(x+y)},& x\ge 0,y\ge 0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

某公司可通过电台及报纸两种形式为某种商品做销售广告。根据统计资料，销售收入$R$（万元）与电台广告费用$x_1$（万元）及报纸广告费用$x_2$（万元）之间有如下经验公式：$R=15+14x_1+32x_2-8x_1{x}_2-2x_1^2-10x_2^2$。