真题库

已知对于$n$阶方阵$A$，存在自然数$k$，使得$A^k=0$，其中$E$为$n$阶单位阵。

证明不等式$1+x\ln (x+\sqrt{1+x^2})\ge \sqrt{1+x^2}$，其中$-\infty <x<+\infty$。

求曲线$y=\frac{1}{1+x^2}$（$x>0$）的拐点。

设$A$为$10\times 10$矩阵$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 10^{10}& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，计算行列式$|A-\lambda E|$，其中$E$为$10$阶单位矩阵，$\lambda$为常数。

已知线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=a\\ 3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=0\\ x_2+2x_3+2x_4+6x_5=b\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=2\end{array}$，回答下列问题。

求微分方程$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y={\mathrm{e}}^{-2x}$的通解（一般解）。

给定幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)x^n$。

已知$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+a}{x-a}{)}^x=9$，求常数$a$。

求曲面积分$I={\iint }_{S}yz\mathrm{d}z\mathrm{d}x+2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$S$是球面$x^2+y^2+z^2=4$外侧在$z\ge 0$的部分。

某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为$72$分，$96$分以上的占考生总数的$2.3\%$。求考生的外语成绩在$60$分至$84$分之间的概率。附表中$\Phi (x)$是标准正态分布函数：

求由方程$2y-x=(x-y)\ln (x-y)$所确定的函数$y=y(x)$的微分$\mathrm{d}y$。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x(1+t^2){\mathrm{e}}^{t^2-x^2}\mathrm{d}t$。

设$f(x)={\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t$，其中$x>0$，求$f(x)+f(\frac{1}{x})$。

给定二次型$f=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2-4x_1{x}_2+4x_1{x}_3-8x_2{x}_3$。

设$A$是$n$阶矩阵，${\lambda }_1$和${\lambda }_2$是$A$的两个不同的特征值，$x_1,x_2$分别是属于${\lambda }_1,{\lambda }_2$的特征向量。证明$x_1+x_2$不是$A$的特征向量。

求${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{(2-x{)}^2}\mathrm{d}x$。

设$f(x)$在闭区间$[0,c]$上连续，其导数$f^{\prime }(x)$在开区间$(0,c)$内存在且单调减少，且$f(0)=0$。试应用拉格朗日中值定理证明不等式$f(a+b)\le f(a)+f(b)$，其中常数$a,b$满足条件$0\le a\le b\le a+b\le c$。

求微分方程$x\ln x\mathrm{d}y+(y-\ln x)\mathrm{d}x=0$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=1$的特解。

求函数$I(x)={\int }_{\mathrm{e}}^x\frac{\ln t}{t^2-2t+1}\mathrm{d}t$在区间$[\mathrm{e},{\mathrm{e}}^2]$上的最大值。

求微分方程$x\ln x\mathrm{d}y+(y-\ln x)\mathrm{d}x=0$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=0$的特解。