真题库

求不定积分$\int \frac{x{\cos }^4\frac{x}{2}}{{\sin }^{3}x}\mathrm{d}x$。

设$z=f(2x-y,y\sin x)$，其中$f(u,v)$具有连续的二阶偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

质点$P$沿着以$AB$为直径的圆周，从点$A(1,2)$运动到点$B(3,4)$的过程中受变力$\vec{F}$作用（见图）。$\vec{F}$的大小等于点$P$与原点$O$之间的距离，其方向垂直于线段$OP$且与$y$轴正向的夹角小于$\frac{\pi }{2}$。求变力$\vec{F}$对质点$P$所作的功。

求级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-3{)}^n}{n^2}$的收敛域。

计算$\int \frac{\ln x}{(1-x{)}^2}\mathrm{d}x$。

设$x^2+z^2=y\varphi (\frac{z}{y})$，其中$\varphi$为可微函数，求$\frac{\partial z}{\partial y}$。

从$0,1,2,\cdots ,9$十个数字中任意选出三个不同数字，试求下列事件的概率：

设空间区域$\Omega$由曲面$z=a^2-x^2-y^2$与平面$z=0$围成，其中$a$为正常数。设$\Omega$表面的外侧为$S$，$\Omega$的体积为$V$。证明${\iint }_S{x}^{2}y{z}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z-x{y}^2{z}^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z(1+xyz)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=V$。

假设$\lambda$为$n$阶可逆矩阵$A$的一个特征值。

证明方程$\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-{\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\cos 2x}\mathrm{d}x$在区间$(0,+\infty )$内有且仅有两个不同实根。

已知$X=AX+B$，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 1& 1\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\\ 5& -3\end{array}\right)$，求矩阵$X$。

设$f(x)=\sin x-{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$，其中$f$为连续函数，求$f(x)$。

已知$y=\arcsin {\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}$，求$y^{\prime }$。

已知随机变量$X$和$Y$的联合密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-(x+y)},& 0<x<+\infty ,0<y<+\infty \\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

求不定积分$\int \frac{x+\ln (1-x)}{x^2}\mathrm{d}x$。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}{)}^x$。

设某厂家打算生产一批商品投放市场。已知该商品的需求函数为$P=P(x)=10{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$，且最大需求量为$6$，其中$x$表示需求量，$P$表示价格。

对函数$y=\frac{x+1}{x^2}$，填写下表：

求微分方程$y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y=2{\mathrm{e}}^{-x}$的通解。

计算三重积分${\iiint }_{\Omega }(x+z)\mathrm{d}V$，其中$\Omega$是由曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$所围成的区域。