真题库

某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{600}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{600}},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$。求在仪器使用的最初$200$小时内至少有一只电子元件损坏的概率$\alpha$。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& -1& -2\\ 2& -2& -1\end{array}\right)$。

设随机变量$X$与$Y$独立，且$X$服从均值为$1$、标准差（均方差）为$\sqrt{2}$的正态分布，而$Y$服从标准正态分布。试求随机变量$Z=2X-Y+3$的概率密度函数。

设随机变量$X$在$[2,5]$上服从均匀分布，现在对$X$进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于$3$的概率。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le 1\\ 2-x,& 1\le x\le 2\end{array}$，计算下列各项。

设曲线积分${\int }_{C}x{y}^2\mathrm{d}x+y\phi (x)\mathrm{d}y$与路径无关，其中$\phi (x)$具有连续的导数，且$\phi (0)=0$，计算${\int }_{(0,0)}^{(1,1)}x{y}^2\mathrm{d}x+y\phi (x)\mathrm{d}y$的值。

已知随机变量$X$和$Y$的联合分布如下表，求下列各项。

设${\alpha }_1=(1,1,1)$，${\alpha }_2=(1,2,3)$，${\alpha }_3=(1,3,t)$。

求微分方程$x{y}^{\prime }+(1-x)y={\mathrm{e}}^{2x}$（$0<x<+\infty$）满足$y(1)=0$的解。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{x{\ln }^{2}x}$。

已知$z=a^{\sqrt{x^2-y^2}}$，其中$a>0$，$a\ne 1$，求$\mathrm{d}z$。

假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f^{\prime }(x)\le 0$，记$F(x)=\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，证明在$(a,b)$内，$F^{\prime }(x)\le 0$。

求二重积分${\iint }_D\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是$x^2+y^2=1$、$x=0$和$y=0$所围成的区域在第Ⅰ象限的部分。

将函数$f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$展为$x$的幂级数。

设半径为$R$的球面$\Sigma$的球心在定球面$x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$上，问当$R$为何值时，球面$\Sigma$在定球面内部的那部分的面积最大？

设抛物线$y=a{x}^2+bx+c$过原点，当$0\le x\le 1$时$y\ge 0$，又已知该抛物线与$x$轴及直线$x=1$所围图形的面积为$\frac{1}{3}$，试确定$a,b,c$，使此图形绕$x$轴旋转一周而成的旋转体的体积$V$最小。

已知$z=f(u,v)$，$u=x+y$，$v=xy$，且$f(u,v)$的二阶偏导数都连续。求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

已知某企业的总收入函数为$R=26x-2x^2-4x^3$，总成本函数为$C=8x+x^2$，其中$x$表示产品的产量。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+{\mathrm{e}}^x{)}^{\frac{1}{x}}$。

已知$\{\begin{array}{l}x=\ln (1+t^2)\\ y=\arctan t\end{array}$，求下列各项。