真题库

求八分之一球面$x^2+y^2+z^2=R^2$，$x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$的边界曲线的重心，设曲线的线密度$\rho =1$。

对于线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_3=\lambda \\ 4x_1+x_2+2x_3=\lambda +2\\ 6x_1+x_2+4x_3=2\lambda +3\end{array}$，回答下列问题。

求$\underset{x\to 0}{\lim }(2\sin x+\cos x{)}^{\frac{1}{x}}$。

已知$f(2)=\frac{1}{2}$，$f^{\prime }(2)=0$及${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=1$，求${\int }_0^1{x}^2{f}^{\prime \prime }(2x)\mathrm{d}x$。

已知函数$y=\frac{2x^2}{(1-x{)}^2}$，试求其单调区间、极值点及图形的凹凸性、拐点和渐近线，并画出函数的图形。

设$z=f(2x-y)+g(x,xy)$，其中函数$f(t)$二阶可导，$g(u,v)$具有连续的二阶偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

求二重积分${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\mathrm{d}y{\int }_y^{\frac{\pi }{6}}\frac{\cos x}{x}\mathrm{d}x$。

在曲线$y=x^2$（$x>0$）上某点$A$处作一切线，使之与曲线以及$x$轴所围图形的面积为$\frac{1}{12}$。

已知$AP=PB$，其中$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$。

假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只；若是废品，则扔掉并重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只。

某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占$20\%$，以$X$表示在随意抽查的$100$个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。附表中$\Phi (x)$是标准正态分布函数：

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$和$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n^2$都收敛，试证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$绝对收敛。

已知$f(x)={\mathrm{e}}^{x^2}$，$f[\varphi (x)]=1-x$且$\varphi (x)\ge 0$。

已知$u+{\mathrm{e}}^u=xy$，求$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$。

设$x\ge -1$，求${\int }_{-1}^x(1-|t|)\mathrm{d}t$。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-3{)}^n}{n\cdot 3^n}$的收敛域。

玻璃杯成箱出售，每箱$20$只，假设各箱含$0,1,2$只残次品的概率相应为$0.8,0.1,0.1$。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看$4$只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

已知$y=1+x{\mathrm{e}}^{xy}$。

确定常数$a$和$b$，使函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x>1\\ x^2,& x\le 1\end{array}$处处可导。

讨论级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$的敛散性。