真题库

假设随机变量$X$在区间$(1,2)$上服从均匀分布，试求随机变量$Y={\mathrm{e}}^{2X}$的概率密度$f_Y(y)$。

求极限$\underset{x\to 1}{\lim }(1-x^2)\tan \frac{\pi x}{2}$。

已给线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+2x_3+3x_4=1\\ x_1+3x_2+6x_3+x_4=3\\ 3x_1-x_2-k_1{x}_3+15x_4=3\\ x_1-5x_2-10x_3+12x_4=k_2\end{array}$。

设位于点$(0,1)$的质点$A$对质点$M$的引力大小为$\frac{k}{r^2}$（$k>0$为常数，$r$为质点$A$与$M$之间的距离），质点$M$沿曲线$y=\sqrt{2x-x^2}$自$B(2,0)$运动到$O(0,0)$，求在此运动过程中质点$A$对质点$M$的引力所作的功。

计算${\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_{\sqrt{x}}^x\sin \frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}y+{\int }_2^4\mathrm{d}x{\int }_{\sqrt{x}}^2\sin \frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}y$。

设$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有连续导数，且$m\le f(x)\le M$。

已知向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$（$s\ge 2$）线性无关。设${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\beta }_2={\alpha }_2+{\alpha }_3,\cdots ,{\beta }_{s-1}={\alpha }_{s-1}+{\alpha }_s,{\beta }_s={\alpha }_s+{\alpha }_1$。试讨论向量组${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$的线性相关性。

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内有$f^{\prime }(x)>0$。证明：在$(a,b)$内存在唯一的$\xi$，使曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=a$所围平面图形$S_1$是曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=b$所围平面图形面积$S_2$的$3$倍。

已知$u={\mathrm{e}}^{\frac{x}{y}}$，求$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$。

设$S$为曲面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧，计算闭曲面积分$I={\iint }_S{x}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

将长为$a$的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形。问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？

求微分方程$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x(x^2+1)}$的通解（一般解）。

已知某商品的需求量$D$和供给量$S$都是价格$p$的函数：$D=D(p)=\frac{a}{p^2},S=S(p)=bp$，其中$a>0$和$b>0$为常数；价格$p$是时间$t$的函数且满足方程$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=k[D(p)-S(p)]$（$k$为正的常数）。假设当$t=0$时价格为$1$。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& x\end{array}\right)$与$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& y& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$相似。

已知$n$阶方阵$A$满足矩阵方程$A^2-3A-2E=O$，其中$A$是给定的，$E$是单位矩阵。

设$A$是三阶方阵，$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，且$|A|=\frac{1}{2}$。求行列式$|(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }|$的值。

设随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$，求随机变量$Y=1-\sqrt[3]{X}$的概率密度函数$f_Y(y)$。

设$u=yf(\frac{x}{y})+xg(\frac{y}{x})$，其中函数$f,g$具有二阶连续导数，求$x\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+y\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$。

求椭球面$x^2+2y^2+3z^2=21$上某点$M$处的切平面$\Pi$的方程，使平面$\Pi$过已知直线$l:\frac{x-6}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{2z-1}{-2}$。

求极限$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^x-1}{x\ln x}$。