真题库

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{\mathrm{e}}^x{)}^{\frac{1}{x}}$。

计算定积分${\int }_0^{1}x\arcsin x\mathrm{d}x$。

计算定积分${\int }_{\frac{1}{2}}^1{\mathrm{e}}^{\sqrt{2x-1}}\mathrm{d}x$。

$y=\ln \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}$，求$y^{\prime }$。

求不定积分$\int {\mathrm{e}}^{\sqrt{2x-1}}\mathrm{d}x$。

假设有两箱同种零件：第一箱内装$50$件，其中$10$件一等品；第二箱内装$30$件，其中$18$件一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。

设$f$、$g$为连续可微函数，$u=f(x,xy)$，$v=g(x+xy)$，求$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial v}{\partial x}$。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (1+\frac{1}{x})}{\arctan x}$。

设${\lambda }_1$，${\lambda }_2$为$n$阶方阵$A$的特征值，且${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，而$x_1$，$x_2$分别为对应的特征向量，试证明$x_1+x_2$不是$A$的特征向量。

已知某商品的需求量$x$对价格$p$的弹性为$\eta =-3p^3$，而市场对该商品的最大需求量为$1$（万件），求需求函数。

问$a$、$b$为何值时，线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ x_2+2x_3+2x_4=1,\\ -x_2+(a-3)x_3-2x_4=b,\\ 3x_1+2x_2+x_3+a{x}_4=-1\end{array}$有唯一解、无解或有无穷多组解？并求有无穷多组解时的通解。

假设矩阵$A$和$B$满足如下关系式$AB=A+2B$，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{array}\right)$，求矩阵$B$。

解线性方程组$\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+4x_3-3x_4=-4,\\ x_1+x_3-x_4=-3,\\ 3x_1+x_2+x_3=1,\\ 7x_1+7x_3-3x_4=3.\end{array}$。

设$D$是曲线$y=\sin x+1$与三条直线$x=0$，$x=\pi$，$y=0$围成的曲边梯形。求$D$绕$x$轴旋转一周所生成的旋转体的体积$V$。

求不定积分$\int \frac{x\mathrm{d}x}{x^4+2x^2+5}$。

已知离散型随机变量$X$的概率分布为：$P\{X=1\}=0.2,P\{X=2\}=0.3,P\{X=3\}=\mathrm{0.5.}$

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x}-\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1})$。

已知随机变量$Y$的概率密度为$f(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2y}{a^2}{\mathrm{e}}^{-\frac{y^2}{a^2}},& y>0,\\ 0,& y\le 0,\end{array}$求随机变量$Z=\frac{1}{Y}$的数学期望$E(Z)$。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上可微，对于$[0,1]$上的每一个$x$，$f(x)$的值都在开区间$(0,1)$内，且$f^{\prime }(x)\ne 1$。证明：在$(0,1)$内有且仅有一个$x$，使$f(x)=x$。

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }x(8y+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2(1-y^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x-4yz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$是由曲线$\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}\\ x=0\end{array}$（$1\le y\le 3$）绕$y$轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与$y$轴正向的夹角恒大于$\frac{\pi }{2}$。