真题库

设$p$为常数。若反常积分${\int }_0^1\frac{\ln x}{x^p(1-x{)}^{1-p}}\mathrm{d}x$收敛，则$p$的取值范围是（　　）。

设随机变量序列$X_1,X_2,\dots$独立同分布，且$X_i$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|,& |x|<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，则当$n\to \infty$时，$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$依概率收敛于（　　）。

设$A,B$为$n$阶矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵。若方程组$A\mathbf{x}=0$与$B\mathbf{x}=0$同解，则（　　）。

当$x\to 0$时，$\alpha (x),\beta (x)$是非零无穷小量。给出命题：① $\alpha \sim \beta \Rightarrow {\alpha }^2\sim {\beta }^2$；② ${\alpha }^2\sim {\beta }^2\Rightarrow \alpha \sim \beta$；③ $\alpha \sim \beta \Rightarrow \alpha -\beta =o(\alpha )$；④ $\alpha -\beta =o(\alpha )\Rightarrow \alpha \sim \beta$。真命题的序号为（　　）。

设随机变量$X_1,X_2,\dots ,X_n$独立同分布，且$X_1$的$4$阶矩存在，$E(X_1^k)={\mu }_k(k=1,2,3,4)$。对任意$\epsilon >0$，对随机变量$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$直接应用切比雪夫不等式，所得不等式为$P\{|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\mu }_2|\ge \epsilon \}\le$（　　）。

${\int }_0^2\mathrm{d}y{\int }_y^2\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x=$（　　）。

若$I_1={\int }_0^1\frac{x}{2(1+\cos x)}\mathrm{d}x,I_2={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x,I_3={\int }_0^1\frac{2x}{1+\sin x}\mathrm{d}x$，则（　　）。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率分布见下表。若事件$\{\max (X,Y)=2\}$与事件$\{\min (X,Y)=1\}$相互独立，则$\mathrm{Cov}(X,Y)$等于（　　）。

设$f(u)$可导，$z=xyf(\frac{y}{x})$。若$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$，则（　　）。

设$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，则 3 阶矩阵$A$的特征值为$1,-1,0$的充分必要条件是（　　）。

设数列$\{x_n\}$满足$-\frac{\pi }{2}\le x_n\le \frac{\pi }{2}$，则（　　）。

设随机变量$X\sim N(0,1)$。若在$X=x$的条件下，随机变量$Y\sim N(x,1)$，则$X$与$Y$的相关系数为（　　）。

设随机变量$X$服从区间$(0,3)$上的均匀分布，随机变量$Y$服从参数为 2 的泊松分布，且$\mathrm{Cov}(X,Y)=-1$，则$D(2X-Y+1)=$（　　）。

下列 4 个条件中，3 阶矩阵$A$可相似对角化的一个充分非必要条件是（　　）。

设${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ \lambda \\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ \lambda \end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_4=\left(\begin{array}{c}1\\ \lambda \\ {\lambda }^2\end{array}\right)$。若向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$与${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4$等价，则$\lambda$的取值范围是（　　）。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=$（　　）。

设函数$f(x)=\sec x$在$x=0$处的 2 次泰勒多项式为$1+ax+b{x}^2$，则（　　）。

设函数$f(x)=\frac{\sin x}{1+x^2}$在$x=0$处的 3 次泰勒多项式为$ax+b{x}^2+c{x}^3$，则（　　）。

设总体$X$的概率分布为$P(X=1)=\frac{1-\theta }{2}$，$P(X=2)=P(X=3)=\frac{1+\theta }{4}$，利用来自总体的样本观察值$1,3,2,2,1,3,1,2$，可得$\theta$的最大似然估计值为（　　）。

设$(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\dots ,(X_n,Y_n)$为来自总体$N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho )$的简单随机样本，令$\theta ={\mu }_1-{\mu }_2,\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i,\hat{\theta }=\overline{X}-\overline{Y}$，则（　　）。