真题库

设函数$f(x)$在区间$[0,2]$上具有连续导数，$f(0)=f(2)=0$，$M={\max }_{x\in [0,2]}\{|f(x)|\}$。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续，在$(0,+\infty )$内可导，且对所有$x>0$有$f^{\prime }(x)>0$，曲线$y=f(x)(x\ge 0)$经过坐标原点$O$。$M$为其上横坐标大于零的任意一点，点$M$处的切线与$x$轴交于点$T$，又$MP$垂直$x$轴于点$P$。已知由曲线$y=f(x)$、直线$MP$以及$x$轴所围图形的面积与$△MTP$的面积之比恒为$3:2$，求满足上述条件的曲线方程。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 1\\ 2& x& -2\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$与$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right)$相似。

已知函数$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，且$f(0)=0,f(1)=1,{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=1$。

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{A}{\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},& x\ge \mu \\ 0,& x<\mu \end{array}$，其中$\mu$是已知参数，$\sigma$是未知参数，$A$是常数，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本。

设向量组${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 3\end{array}\right)$为${\mathbb{R}}^3$的一组基，$\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$在这组基下的坐标为$\left(\begin{array}{c}b\\ c\\ 1\end{array}\right)$。

已知$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$g(x,y)=xy-f(x+y,x-y)$，求$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

设平面区域$D=\{(x,y)\mid |x|\le y,(x^2+y^2{)}^3\le y^4\}$，计算二重积分${\iint }_D\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+xy={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(0)=0$的特解。

求不定积分$\int \frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}\mathrm{d}x$。

设$a,b$为实数，函数$z=2+a{x}^2+b{y}^2$在点$(3,4)$处的方向导数中，沿方向$l=-3\mathbf{i}-4\mathbf{j}$的方向导数最大，最大值为$10$。

设$a_n={\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x(n=0,1,2,\cdots )$。

设$\Omega$是由锥面$x^2+(y-z{)}^2=(1-z{)}^2(0\le z\le 1)$与平面$z=0$围成的锥体，求$\Omega$的形心坐标。

设$n$是正整数，记$S_n$为曲线$y={\mathrm{e}}^{-x}\sin x(0\le x\le n\pi )$与$x$轴所围成图形的面积。

设随机变量$X,Y$相互独立，$X$服从参数为$1$的指数分布，$Y$的概率分布为$P\{Y=-1\}=p$，$P\{Y=1\}=1-p(0<p<1)$，令$Z=XY$。

已知函数$u(x,y)$满足关系式$2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+3\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=0$。求$a,b$的值，使得在变换$u(x,y)=v(x,y){\mathrm{e}}^{ax+by}$之下，上述等式可化为函数$v(x,y)$的不含一阶偏导数的等式。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2x},& x>0\\ x{\mathrm{e}}^x+1,& x\le 0\end{array}$

已知向量组Ⅰ：${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ a^2+3\end{array}\right)$；向量组Ⅱ：${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ a+3\end{array}\right),{\beta }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1-a\end{array}\right),{\beta }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ a^2+3\end{array}\right)$。若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$的特解。

求曲线$y={\mathrm{e}}^{-x}\sin x(x\ge 0)$与$x$轴之间图形的面积。