真题库

当$x\to 0$时，${\int }_0^{x^2}({\mathrm{e}}^{t^3}-1)\mathrm{d}t$是$x^7$的（　　）。

设 3 阶矩阵$A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$，$B=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$。若向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$可以由向量组${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$线性表出，则（　　）。

设$X_1,X_2,\dots ,X_{16}$是来自总体$N(\mu ,4)$的简单随机样本，考虑假设检验问题$H_0:\mu \le 10,H_1:\mu >10$，$\Phi (x)$表示标准正态分布函数。若拒绝域为$W=\{\overline{X}\ge 11\}$，其中$\overline{X}=\frac{1}{16}\sum _{i=1}^{16}{X}_i$，则$\mu =11.5$时该检验犯第二类错误的概率为（　　）。

设$A,B$为随机事件，且$0<P(B)<1$，下列命题中为假命题的是（　　）。

有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为$2\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}},-3\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$。当底面半径为$10\mathrm{cm}$、高为$5\mathrm{cm}$时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（　　）。

函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1}{x},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$在$x=0$处（　　）。

设$A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)$为 4 阶正交矩阵，若矩阵$B=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\alpha }}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$，$\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，$k$表示任意常数，则线性方程组$B\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$的通解为（　　）。

已知${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$，记${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1$，${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-k{\mathbf{\beta }}_1$，${\mathbf{\beta }}_3={\mathbf{\alpha }}_3-l_1{\mathbf{\beta }}_1-l_2{\mathbf{\beta }}_2$。若${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$两两正交，则$l_1,l_2$依次为（　　）。

设函数$f(x)=ax-b\ln x(a>0)$有两个零点，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）。

设函数$f(x,y)$可微，且$f(x+1,{\mathrm{e}}^x)=x(x+1{)}^2$，$f(x,x^2)=2x^2\ln x$，则$\mathrm{d}f(1,1)=$（　　）。

设$A,B$为$n$阶实矩阵，下列等式不成立的是（　　）。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& -1& 1\\ -1& 2& -5\end{array}\right)$。若存在下三角可逆矩阵$P$和上三角可逆矩阵$Q$，使$PAQ$为对角矩阵，则$P,Q$可以分别取（　　）。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_2+x_3{)}^2-(x_3-x_1{)}^2$的正惯性指数与负惯性指数依次为（　　）。

当$x\to 0^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的是（　　）。

设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，$f(0,0)=0$，$\mathbf{n}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1){|}_{(0,0)}$，非零向量$\mathbf{\alpha }$与$\mathbf{n}$垂直，则（　　）。

设$A,B,C$为三个随机事件，且$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$，$P(A\cap B)=0$，$P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac{1}{12}$，则$A,B,C$中恰有一个事件发生的概率为（　　）。

设$A$为$3$阶矩阵，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$为$A$的属于特征值$1$的线性无关特征向量，${\mathbf{\alpha }}_3$为$A$的属于特征值$-1$的特征向量。则满足$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$的可逆矩阵$P$可为（　　）。

关于函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy,& xy\ne 0\\ x,& y=0\\ y,& x=0\end{array}$，给出下列结论：$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}=1$；$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(0,0)}=1$；$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=0$；$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=0$。其中正确的个数为（　　）。

设随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布$N(0,0;1,4;-\frac{1}{2})$，则下列随机变量中服从标准正态分布且与$X$相互独立的是（　　）。

已知函数$f(x)=x^2\ln (1-x)$，当$n\ge 3$时，$f^{(n)}(0)=$（　　）。