真题库

将长为$2m$的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

设平面区域$D$由曲线$y=\sqrt{3(1-x^2)}$与直线$y=\sqrt{3}x$及$y$轴围成，计算二重积分${\iint }_D{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知随机变量$X,Y$相互独立，且$P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2}$，$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，令$Z=XY$。

已知曲线$L:y=\frac{4}{9}{x}^2(x\ge 0)$，点$O(0,0)$，点$A(0,1)$。设$P$是$L$上的动点，$S$是直线$OA$与直线$AP$及曲线$L$所围图形的面积。若$P$运动到$(3,4)$时沿$x$轴正向的速度是$4$，求此时$S$关于时间$t$的变化率。

设$X$的概率密度为$f(x,\sigma )=\frac{1}{2\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{|x|}{\sigma }},-\infty <x<+\infty$，其中$\sigma \in (0,+\infty )$为未知参数，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，记$\sigma$的最大似然估计量为$\hat{\sigma }$。

设实二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_1+a{x}_3{)}^2$，其中$a$是参数。

已知$a$是常数，且矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& a\\ 1& 3& 0\\ 2& 7& -a\end{array}\right)$可经初等列变换化为矩阵$B=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$。

已知常数$k\ge \ln 2-1$，证明：$(x-1)(x-{\ln }^{2}x+2k\ln x-1)\ge 0$。

已知连续函数$f(x)$满足${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=a{x}^2$。

设$\Sigma$是曲面$x=\sqrt{1-3y^2-3z^2}$的前侧，计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^3+z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知微分方程$y^{\prime }+y=f(x)$，其中$f(x)$是$\mathbb{R}$上的连续函数。

已知$\cos 2x-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n(-1<x<1)$，求$a_n$。

设平面区域$D$由曲线$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}(0\le t\le 2\pi )$与$x$轴围成，计算二重积分${\iint }_D(x+2y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

求不定积分$\int {\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x$。

已知实数$a,b$满足$\underset{x\to +\infty }{\lim }[(ax+b){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}-x]=2$，求$a,b$。

设数列$\{x_n\}$满足：$x_1>0$，$x_n{\mathrm{e}}^{x_{n+1}}={\mathrm{e}}^{x_n}-1(n=1,2,\cdots )$。

设薄片型物体$S$是圆锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$被柱面$z^2=2x$割下的有限部分，其上任一点的密度为$\mu =9\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，记圆锥面与柱面的交线为$C$。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-x_2^2+a{x}_3^2+2x_1{x}_2-8x_1{x}_3+2x_2{x}_3$在正交变换$x=Qy$下的标准型为${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2$。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2y\}$，计算二重积分${\iint }_D(x+1{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知方程$\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}=k$在区间$(0,1)$内有实根，求$k$的范围。