真题库

计算积分${\iint }_D\frac{y^3}{(1+x^2+y^4{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是第一象限中以曲线$y=\sqrt{x}$与$x$轴为边界的无界区域。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln (1+\frac{k}{n})$。

已知函数$y(x)$由方程$x^3+y^3-3x+3y-2=0$确定，求$y(x)$的极值。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上具有二阶导数，且$f(1)>0$，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}<0$。证明：

设随机变量$X,Y$相互独立，且$P(X=0)=P(X=2)=\frac{1}{2}$，$Y$的概率密度为$f(y)=\{\begin{array}{ll}2y,& 0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做$n$次测量，该物体的质量$\mu$是已知的。设$n$次测量结果$X_1,X_2,\cdots ,X_n$相互独立且均服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$。该工程师记录的是$n$次测量的绝对误差$Z_i=|X_i-\mu |(i=1,2,\cdots ,n)$，利用$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n$估计$\sigma$。

设$3$阶矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$有$3$个不同的特征值，且${\alpha }_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2$。

设$a_0=1$，$a_1=0$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}(n{a}_n+a_{n-1})(n=1,2,\cdots )$，$S(x)$为幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数。

设函数$f(u,v)$具有$2$阶连续偏导数，$y=f({\mathrm{e}}^x,\cos x)$，求$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}{|}_{x=0}$及$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{x=0}$。

设$y(x)$是区间$(0,\frac{3}{2})$内的可导函数，且$y(1)=0$。点$P$是曲线$L:y=y(x)$上的任意一点。$L$在$P$处的切线与$y$轴相交于点$(0,Y_P)$，法线与$x$轴相交于点$(X_P,0)$。若$X_P=Y_P$，求$L$上点的坐标$(x,y)$满足的方程。

求极限$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sqrt{x-t}{\mathrm{e}}^t\mathrm{dt}}{\sqrt{x^3}}$。

已知函数$z=z(x,y)$由方程$(x^2+y^2)z+\ln z+2(x+y+1)=0$确定，求$z=z(x,y)$的极值。

设函数$y(x)$满足方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ky=0$，其中$0<k<1$。

已知平面区域$D=\{(r,\theta )\mid 2\le r\le 2(1+\cos \theta ),-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}\}$，计算二重积分${\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设总体$X$的概率密度为$f(x,\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{3x^2}{{\theta }^3},& 0<x<\theta ,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$其中$\theta \in (0,+\infty )$为未知参数，$X_1,X_2,X_3$为来自总体$X$的简单随机样本，令$T=\max \{X_1,X_2,X_3\}$。

设函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=(2x+1){\mathrm{e}}^{2x-y},f(0,y)=y+1$。$L_t$是从点$(0,0)$到点$(1,t)$的光滑曲线，计算曲线积分$I(t)={\int }_{L_t}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\mathrm{d}y$，并求$I(t)$的最小值。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos 2x+2x\sin x{)}^{\frac{1}{x^4}}$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& a& 1\\ -1& 1& a\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& a\\ -a-1& -2\end{array}\right)$。当$a$为何值时，方程$AX=B$无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程。

设$D$是由曲线$y=\sqrt{1-x^2}(0\le x\le 1)$与$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}(0\le t\le \frac{\pi }{2})$围成的平面区域。

已知$y_1(x)={\mathrm{e}}^x,y_2(x)=u(x){\mathrm{e}}^x$是二阶微分方程$(2x-1)y^{\prime \prime }-(2x+1)y^{\prime }+2y=0$的解，若$u(-1)=\mathrm{e},u(0)=-1$，求$u(x)$，并写出该微分方程的通解。