真题库

若$f^{\prime \prime }(x)$不变号，且曲线$y=f(x)$在点$(1,1)$上的曲率圆为$x^2+y^2=2$，则$f(x)$在区间$(1,2)$内（　　）。

椭球面$S_1$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$绕$x$轴旋转而成，圆锥面$S_2$是由过点$(4,0)$且与该椭圆相切的直线绕$x$轴旋转而成。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{{\sin }^{4}x}$。

曲线$\{\begin{array}{l}x={\int }_0^{1-t}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u,\\ y=t^2\ln (2-t^2)\end{array}$在$(0,0)$处的切线方程为 。

当$x\to 0$时，$f(x)=x-\sin ax$与$g(x)=x^2\ln (1-bx)$是等价无穷小，则（　　）。

函数$y=x^{2x}$在区间$(0,1]$上的最小值为 。

设$y=y(x)$是由方程$xy+{\mathrm{e}}^y=x+1$确定的隐函数，则$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}{|}_{x=0}=$ 。

设$z=(x+{\mathrm{e}}^y{)}^x$，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,0)}=$ 。

计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\ln \frac{\sin x}{x}$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{x^4}$。

求函数$f(x)=(x-5)x^{\frac{2}{3}}$的拐点坐标为 。

设银行存款的年利率为$r=0.05$，并依年复利计算。某基金会希望通过存款$A$万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，……，第$n$年取出$10+9n$万元，并能按此规律一直提取下去，问$A$至少应为多少万元？

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y={\int }_0^{t^2}\ln (1+u)\mathrm{d}u\end{array}$确定，其中$x(t)$是初值问题$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-2t{\mathrm{e}}^{-x}=0,\\ x{|}_{t=0}=0\end{array}$的解，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设函数$f(x)={\int }_0^1|t(t-x)|\mathrm{d}t(0<x<1)$，求$f(x)$的极值、单调区间及曲线$y=f(x)$的凹凸区间。

曲线$\sin (xy)+\ln (y-x)=x$在点$(0,1)$处的切线方程为 。

已知函数$f(x)$连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$，则曲线$y=f(x)$上对应$x=0$处的切线方程是 。

设$f(x)=x^2(x-1)(x-2)$，求$f^{\prime }(x)$的零点个数为（　　）。

已知$z=(\frac{y}{x}{)}^{\frac{x}{y}}$，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=$ 。