真题库

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导且存在相等的最大值，又$f(a)=g(a),f(b)=g(b)$，证明：存在$\xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$。

设某商品的需求函数为$Q=160-2p$，其中$Q,p$分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于$1$，则商品的价格是（　　）。

设函数$f(x)$在$(0,+\infty )$上具有二阶导数，且$f^{\prime \prime }(x)>0$，令$u_n=f(n)(n=1,2,\dots )$，则下列结论正确的是（　　）。

设函数$y=y(x)$由方程$y\ln y-x+y=0$确定，试判断曲线$y=y(x)$在点$(1,1)$附近的凹凸性。

设函数$y=\frac{1}{2x+3}$，则$y^{(n)}(0)=$ 。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-\sin x}{x^3}=$ 。

曲线$y=\frac{1}{x}+\ln (1+{\mathrm{e}}^x)$渐近线的条数为（　　）。

设函数$f(x)$在$x=0$连续，则下列命题错误的是（　　）。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导且存在相等的最大值，又$f(a)=g(a),f(b)=g(b)$，证明：

设$D$是位于曲线$y=\sqrt{x}{a}^{-\frac{x}{(2a)}}(a>1,0\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界区域。

已知函数$f(u)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=1$，函数$y=y(x)$由方程$y-x{\mathrm{e}}^{y-1}=1$所确定。设$z=f(\ln y-\sin x)$，求：

曲线$\{\begin{array}{l}x=\cos t+{\cos }^{2}t,\\ y=1+\sin t\end{array}$上对应于$t=\frac{\pi }{4}$的点处的法线斜率为 。

证明：当$0<a<b<\pi$时，$b\sin b+2\cos b+\pi b>a\sin a+2\cos a+\pi a$。

设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h^2)}{h^2}=1$，则（　　）。

设函数$y=f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0$，$\Delta x$为自变量$x$在$x_0$处的增量，$\Delta y$与$\mathrm{d}y$分别为$f(x)$在点$x_0$处对应的增量与微分，若$\Delta x>0$，则（　　）。

设$f(x,y)=\frac{y}{1+xy}-\frac{1-y\sin (\pi \frac{x}{y})}{\arctan x}$，$x>0,y>0$，求：

已知曲线$L$的方程$\{\begin{array}{l}x=t^2+1,\\ y=4t-t^2,\end{array}quadt\ge 0$。

设函数$g(x)$可微，$h(x)={\mathrm{e}}^{1+g(x)}$，$h^{\prime }(1)=1$，$g^{\prime }(1)=2$，则$g(1)$等于（　　）。

设数列$\{x_n\}$满足$0<x_1<\pi ,x_{n+1}=\sin x_n(n=1,2,\dots )$。

设函数$y=y(x)$由方程$y=1-x{\mathrm{e}}^y$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=$ 。