真题库

设函数$y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=t^3+3t+1\\ y=t^3-3t+1\end{array}$确定，则曲线$y=y(x)$向上凸的$x$取值范围为 。

设$f(x)=|x(1-x)|$，则（　　）。

曲线$y=\ln x$上与直线$x+y=1$垂直的切线方程为 。

求$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{x^2})$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$，$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

设$f(x)={\int }_x^{x+\frac{\pi }{2}}|\sin t|\mathrm{d}t$。

设$f^{\prime }(x)$在$[a,b]$上连续，且$f^{\prime }(a)>0,f^{\prime }(b)<0$，则下列结论中错误的是（　　）。

有一平底容器，其内侧壁由曲线$x=\varphi (y)(y\ge 0)$绕$y$轴旋转而成，底面圆半径为$2\mathrm{m}$。以$\frac{3{\mathrm{m}}^3}{\min }$速率注入液体时，液面面积以$\frac{\pi {\mathrm{m}}^2}{\min }$速率均匀扩大。

设函数$f(x)$连续且恒大于零，$F(t)=\frac{{\iiint }_{\Omega (t)}f(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}V}{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }$，$G(t)=\frac{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }{{\int }_{-t}^{t}f(x^2)\mathrm{d}x}$，其中$\Omega (t)=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le t^2\}$，$D(t)=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le t^2\}$

求幂级数$1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n}(|x|<1)$的和函数$f(x)$及其极值。

设函数$y=f(x)$由方程$xy+2\ln x=y^4$所确定，则曲线$y=f(x)$在点$(1,1)$处的切线方程是 。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，其导函数的图形如图所示，则$f(x)$有（　　）。

讨论曲线$y=4\ln x+k$与$y=4x+{\ln }^{4}x$的交点个数。

$y=2^x$的麦克劳林公式中$x^n$项的系数是 。

设函数$f(x)$在$[0,3]$连续，在$(0,3)$可导，且$f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1$。证明存在$\xi \in (0,3)$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+a{x}^3)}{x-\arcsin x},& x<0,\\ 6,& x=0,\\ \frac{{\mathrm{e}}^{ax}+x^2-ax-1}{x\sin \frac{x}{4}},& x>0.\end{array}$

设实参数$\lambda \in \mathbb{R}$，设$f(x)=\{\begin{array}{ll}|x{|}^{\lambda }\cos \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$其导函数在$x=0$处连续，则$\lambda$的取值范围是 。

设$f(x)$为不恒等于零的奇函数，且$f^{\prime }(0)$存在，则$g(x)=\frac{f(x)}{x}$（　　）。

曲线$y=x{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x^2}}$（　　）。

设函数$f(x)=|x^3-1|\varphi (x)$，其中$\varphi (x)$在$x=1$处连续，则$\varphi (1)=0$是$f(x)$在$x=1$处可导的（　　）。