真题库

设$a>1$，$f(t)=a^t-at$在$(-\infty ,+\infty )$内的驻点为$t(a)$。问$a$为何值时，$t(a)$最小？并求出最小值。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=1+2t^2,\\ y={\int }_1^{1+2\ln t}\frac{{\mathrm{e}}^u}{u}\mathrm{d}u\end{array}(t>1)$所确定，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=9}$。

设函数$f(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，且$f^{\prime }(x)>0$。若$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(2x-a)}{x-a}$存在，证明：

已知曲线$y=x^3-3a^{2}x+b$与$x$轴相切，则$b^2=$ 。

设函数$y=y(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内具有二阶导数，且$y^{\prime }\ne 0$，$x=x(y)$是$y=y(x)$的反函数。

已知函数$y=y(x)$由方程${\mathrm{e}}^y+6xy+x^2-1=0$确定，则$y^{\prime \prime }(0)=$ 。

设$0<a<b$，证明不等式$\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}$。

设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有一阶连续导数，且$f(0)\ne 0,f^{\prime }(0)\ne 0$。若$af(h)+bf(2h)-f(0)$在$h\to 0$时是比$h$高阶的无穷小，试确定$a,b$的值。

已知函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内可导，$f(x)>0$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$，且满足$\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{f(x+hx)}{f(x)}{)}^{\frac{1}{h}}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$，求$f(x)$。

设函数$y=f(x)$在$(0,+\infty )$内有界且可导，则（　　）。

设函数$f(u)$可导，$y=f(x^2)$当自变量$x$在$x=-1$处取得增量$\Delta x=-0.1$时，相应的函数增量$\Delta y$的线性主部为$0.1$，则$f^{\prime }(1)=$（　　）。

设某商品需求量$Q$是价格$p$的单调减少函数：$Q=Q(p)$，其需求弹性$\eta =\frac{2p^2}{192-p^2}>0$。

设$D_1$是由抛物线$y=2x^2$和直线$x=a$、$x=2$及$y=0$所围成的平面区域；$D_2$是由抛物线$y=2x^2$和直线$y=0$、$x=a$所围成的平面区域，其中$0<a<2$。

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在开区间$(a,b)$内可导，则（　　）。

设$y=y(x)$是二阶常系数微分方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy={\mathrm{e}}^{3x}$满足初始条件$y(0)=y^{\prime }(0)=0$的特解，则当$x\to 0$，函数$\frac{\ln (1+x^2)}{y(x)}$的极限（　　）。

设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有二阶连续导数，且$f(0)\ne 0$，$f^{\prime }(0)\ne 0$，$f^{\prime \prime }(0)\ne 0$。证明：存在唯一的一组实数${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，使得当$h\to 0$时，${\lambda }_{1}f(h)+{\lambda }_{2}f(2h)+{\lambda }_{3}f(3h)-f(0)$是比$h^2$高阶的无穷小。

求微分方程$x\mathrm{d}y+(x-2y)\mathrm{d}x=0$的一个解$y=y(x)$，使得由曲线$y=y(x)$与直线$x=1$、$x=2$以及$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周的旋转体体积最小。

已知曲线的极坐标方程是$r=1-\cos \theta$，求该曲线上对应于$\theta =\frac{\pi }{6}$处的切线与法线的直角坐标方程。

已知两曲线$y=f(x)$与$y={\int }_0^{\arctan x}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$在点$(0,0)$处的切线相同，写出此切线方程，并求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }nf(\frac{2}{n})$。

曲线$y=(x-1{)}^2(x-3{)}^2$的拐点个数为（　　）。