真题库

设$f(x)$在区间$[-a,a](a>0)$上具有二阶连续导数，$f(0)=0$。

设函数$y=f(x)$由方程${\mathrm{e}}^{2x+y}-\cos (xy)=\mathrm{e}-1$所确定，则曲线$y=f(x)$在点$(0,1)$处的法线方程为 。

设函数$f(x)$在定义域内可导，$y=f(x)$的图形如下，则导函数$y=f^{\prime }(x)$的图形为（　　）。

设$\rho =\rho (x)$是抛物线$y=\sqrt{x}$上任一点$M(x,y)(x\ge 1)$处的曲率半径，$s=s(x)$是该抛物线上介于点$A(1,1)$与$M$之间的弧长，计算$3\rho \frac{{\mathrm{d}}^2\rho }{\mathrm{d}{s}^2}-(\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}s}{)}^2$的值。在直角坐标系下，曲率公式为$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$。

已知函数$f(x)$在区间$(1-\delta ,1+\delta )$内具有二阶导数，$f^{\prime }(x)$严格单调减少，且$f(1)=f^{\prime }(1)=1$，则（　　）。

设$f(0)=0$，则$f(x)$在点$x=0$可导的充要条件为（　　）。

设$y=f(x)$在$(-1,1)$内具有二阶连续导数且$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$。

设函数$f(x)$的导数在$x=a$处连续，又$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x-a}=-1$，则（　　）。

某商品进价为$a$元/件。根据以往经验，当销售价为$b$元/件时，销售量为$c$件（$a,b,c$均为正常数，且$b\ge \frac{4}{3}a$）。市场调查表明，销售价每下降$10\%$，销售量可增加$40\%$。现决定一次性降价。

已知抛物线$y=p{x}^2+qx(p<0,q>0)$在第一象限与直线$x+y=5$相切，且此抛物线与$x$轴所围成的平面图形的面积为$S$。

设$u=f(x,y,z)$有连续的一阶偏导数，又函数$y=y(x)$及$z=z(x)$分别由下列两式确定：${\mathrm{e}}^{xy}-xy=2$和${\mathrm{e}}^x={\int }_0^{x-z}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(1)=k{\int }_0^{\frac{1}{k}}x{\mathrm{e}}^{1-x}f(x)\mathrm{d}x(k>1)$。证明：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime }(\xi )=(1-{\xi }^{-1})f(\xi )$。

已知$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内可导，且$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\mathrm{e}$，$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+c}{x-c}{)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-f(x-1)]$，求$c$的值。

设生产函数为$Q=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }$，其中$Q$是产出量，$L$是劳动投入量，$K$是资本投入量，而$A,\alpha ,\beta$均为大于零的参数，则当$Q=1$时$K$关于$L$的弹性为 。

设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)(x>0)$到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$(\frac{1}{2},0)$。

设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(1)=3{\int }_0^{\frac{1}{3}}{\mathrm{e}}^{1-x^2}f(x)\mathrm{d}x$。证明至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime }(\xi )=2\xi f(\xi )$。

设函数$f(x)$满足关系式$f^{\prime \prime }(x)+[f^{\prime }(x){]}^2=x$，且$f^{\prime }(0)=0$，则（　　）。

函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=1$且满足等式$f^{\prime }(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=0$。

某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是$P_1=18-2Q_1,P_2=12-Q_2$，其中$P_1,P_2$分别表示两个市场的价格（单位：万元/吨），$Q_1,Q_2$分别表示两个市场的销售量（单位：吨）。企业的总成本函数为$C=2Q+5$，其中$Q=Q_1+Q_2$。

设$f(x),g(x)$是恒大于零的可导函数，且$f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)<0$，则当$a<x<b$时，有（　　）。