真题库

设函数$f(x)$在点$x=a$处可导，则函数$|f(x)|$在点$x=a$处不可导的充分条件是（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-x}{\ln (1+2x^3)}=$ 。

求函数$f(x)=x^2\ln (1+x)$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)(n\ge 3)$。

若$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 6x+xf(x)}{x^3}=0$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{6+f(x)}{x^2}$为（　　）。

曲线$y=(2x-1){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$的斜渐近线方程为 。

设曲线$y=a{x}^2(a>0,x\ge 0)$与$y=1-x^2$交于点$A$，过坐标原点$O$和点$A$的直线与曲线$y=a{x}^2$围成一平面图形，该图形绕$x$轴旋转一周。

已知$f(x)$是周期为$5$的连续函数，它在$x=0$的某个邻域内满足关系式$f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+\alpha (x)$，其中$\alpha (x)$是当$x\to 0$时比$x$高阶的无穷小，且$f(x)$在$x=1$处可导，求曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线方程。

设函数$y=y(x)$由方程$2^{xy}=x+y$所确定，则$\mathrm{d}y{|}_{x=0}=$ 。

设函数$y=(x-1){\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}$。

已知函数$y=\frac{x^3}{(x-1{)}^2}$。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1$。完成下列证明：

证明：当$x>0$时，$(x^2-1)\ln x\ge (x-1{)}^2$。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\ln (1+x)-x^2}$。

$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\tan x})=$ 。

设函数$f(x)$在闭区间$[-1,1]$上具有三阶连续导数，且$f(-1)=0,f(1)=1,f^{\prime }(0)=0$。证明在开区间$(-1,1)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime \prime \prime }(\xi )=3$。

设函数$y=y(x)$由方程$\ln (x^2+y)=x^{3}y+\sin x$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=$ 。

曲线$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$的切线与$x$轴和$y$轴围成一个图形，记切点的横坐标为$a$。完成下列各问：

证明：当$0<x<\pi$时，有$\sin \frac{x}{2}>\frac{x}{\pi }$。

曲线$\{\begin{array}{l}x={\mathrm{e}}^t\sin 2t,\\ y={\mathrm{e}}^t\cos t\end{array}$在点$(0,1)$处的法线方程为 。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}},& x>0\\ x^{2}g(x),& x\le 0\end{array}$，其中$g(x)$是有界函数，则$f(x)$在$x=0$处（　　）。