真题库

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=$ 。

设$x\in (0,1)$。

设$y=y(x)$是一向上凸的连续曲线，其上任意一点$(x,y)$处的曲率为$\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$，且此曲线上点$(0,1)$处的切线方程为$y=x+1$。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }(n\tan \frac{1}{n}{)}^{n^2}$（$n$为自然数）。

设曲线$f(x)=x^n$在点$(1,1)$处的切线与$x$轴的交点为$({\xi }_n,0)$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }f({\xi }_n)=$ 。

确定常数$a,b,c$的值，使$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax-\sin x}{{\int }_b^x\frac{\ln (1+t^3)}{t}\mathrm{d}t}=c$（$c\ne 0$）。

设$y=f(x)$是区间$[0,1]$上的任一非负连续函数。完成下列各问：

设周期函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内可导，周期为$4$。又$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1$，则曲线$y=f(x)$在点$(5,f(5))$处的切线斜率为（　　）。

设函数$f(x)$在$x=a$的某个邻域内连续，且$f(a)$为其极大值，则存在$\delta >0$，当$x\in (a-\delta ,a+\delta )$时，必有（　　）。

已知函数$y=y(x)$在任意点$x$处的增量$\Delta y=\frac{y\Delta x}{1+x^2}+\alpha$，且当$\Delta x\to 0$时，$\alpha$是$\Delta x$的高阶无穷小，$y(0)=\pi$，则$y(1)$等于（　　）。

设直线$y=ax$与抛物线$y=x^2$所围成图形的面积为$S_1$，它们与直线$x=1$所围成的图形面积为$S_2$，并且$a<1$。

曲线$y=x\ln (\mathrm{e}+\frac{1}{x})(x>0)$的渐近线方程为 。

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$。证明存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得$\frac{f^{\prime }(\xi )}{f^{\prime }(\eta )}=\frac{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}{b-a}{\mathrm{e}}^{-\eta }$。

某酒厂有一批新酿的好酒，若现在（假定$t=0$）售出，总收入为$R_0$元；若窖藏到$t$年末按陈酒价格出售，总收入为$R=R_0{\mathrm{e}}^{\frac{2}{5}\sqrt{t}}$。银行年利率为$r$，并以连续复利计息。完成下列各问：

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=1$。试证存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得${\mathrm{e}}^{\eta -\xi }[f(\eta )+f^{\prime }(\eta )]=1$。

函数$f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|$不可导点的个数是（　　）。

在经济学中，称函数$Q(x)=A[\delta K^{-x}+(1-\delta )L^{-x}{]}^{-\frac{1}{x}}$为固定替代弹性生产函数，而称函数$\overline{Q}=A{K}^{\delta }{L}^{1-\delta }$为 Cobb–Douglas 生产函数（简称 C–D 生产函数）。试证明：当$x\to 0$时，固定替代弹性生产函数变为 C–D 生产函数，即有$\underset{x\to 0}{\lim }Q(x)=\overline{Q}$。

设在区间$[a,b]$上$f(x)>0,f^{\prime }(x)<0,f^{\prime \prime }(x)>0$，令$S_1={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x,S_2=f(b)(b-a),S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$，则（　　）。

从点$P_1(1,0)$作$x$轴的垂线，交抛物线$y=x^2$于点$Q_1(1,1)$；再从$Q_1$作这条抛物线的切线与$x$轴交于$P_2$，然后又从$P_2$作$x$轴的垂线，交抛物线于$Q_2$，依次重复上述过程得到一系列的点$P_1,Q_1;P_2,Q_2;\dots ;P_n,Q_n;\dots$。其中$n\ge 1$为自然数，而$\overline{M_1{M}_2}$表示点$M_1$与$M_2$之间的距离。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内大于零，并满足$x{f}^{\prime }(x)=f(x)+\frac{3a}{2}{x}^2$（$a$为常数）。又曲线$y=f(x)$与$x=1,y=0$所围成的图形$S$的面积值为$2$。完成下列各问：