真题库

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，且$F(x)={\int }_0^x(x-2t)f(t)\mathrm{d}t$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{a}{x}-(\frac{1}{x^2}-a^2)\ln (1+ax)]$（$a\ne 0$）。

设$u=f(x,y,z)$有连续偏导数，$y=y(x)$和$z=z(x)$分别由方程${\mathrm{e}}^{xy}-y=0$和${\mathrm{e}}^x-xz=0$所确定，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

已知函数$y=f(x)$对一切$x$满足$x{f}^{\prime \prime }(x)+3x[f^{\prime }(x){]}^2=1-{\mathrm{e}}^{-x}$，若$f^{\prime }(x_0)=0$（$x_0\ne 0$），则（　　）。

一商家销售某种商品的价格满足关系$p=7-0.2x$（万元/吨），$x$为销售量（单位：吨），商品的成本函数$C=3x+1$（万元）。若每销售一吨商品，政府要征税$t$（万元）。

设$x\to 0$时，${\mathrm{e}}^{\tan x}-{\mathrm{e}}^x$与$x^n$是同阶无穷小，则$n$为（　　）。

假设某种商品的需求量$Q$是单价$p$（单位：元）的函数：$Q=12000-80p$；商品的总成本$C$是需求量$Q$的函数：$C=25000+50Q$；每单位商品需要纳税$2$元。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续、单调不减且$f(0)\ge 0$。定义$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}{\int }_0^x{t}^{n}f(t)\mathrm{d}t,& x>0\\ 0,& x=0\end{array}$，其中$n>0$。

对数螺线$\rho ={\mathrm{e}}^{\theta }$在点$(\rho ,\theta )=({\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}},\frac{\pi }{2})$处的切线的直角坐标方程为 。

设$y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}$，则$y^{\prime \prime }{|}_{x=0}=$ 。

就$k$的不同取值情况，确定方程$x-\frac{\pi }{2}\sin x=k$在开区间$(0,\frac{\pi }{2})$内根的个数，并证明结论。

设$y=f(\ln x){\mathrm{e}}^{f(x)}$，其中$f$可微，则$\mathrm{d}y=$ 。

设$y=y(x)$由方程组$\{\begin{array}{l}x=\arctan t\\ 2y-t{y}^2+{\mathrm{e}}^t=5\end{array}$所确定，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$确定。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-2x^2,& x<-1\\ x^3,& -1\le x\le 2\\ 12x-16,& x>2\end{array}$。

设$f(x)$处处可导，则（　　）。

设某种商品的单价为$p$时，售出的商品数量$Q=\frac{a}{p+b}-c$，其中$a,b,c$均为正数，且$a>bc$。完成下列各问：

设$y=(x+{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}{)}^{\frac{2}{3}}$，则$y^{\prime }{|}_{x=0}=$ 。

设函数$f(x)$在区间$(-\delta ,\delta )$内有定义，若当$x\in (-\delta ,\delta )$时恒有$|f(x)|\le x^2$，则$x=0$必是$f(x)$的（　　）。

设$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，且满足条件$|f(x)|\le a,|f^{\prime \prime }(x)|\le b$，其中$a,b$都是非负常数，$c$是$(0,1)$内任一点，证明$|f^{\prime }(c)|\le 2a+\frac{b}{2}$。