真题库

设$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$，且$f^{\prime \prime }(x)>0$，证明$f(x)\ge x$。

设某产品的需求函数为$Q=Q(P)$，收益函数为$R=PQ$，其中$P$为产品价格，$Q$为需求量（产品的产量），$Q(P)$为单调减函数。当价格为$P_0$、对应产量为$Q_0$时，边际收益$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}Q}{|}_{Q=Q_0}=a>0$，收益对价格的边际效应$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}P}{|}_{P=P_0}=c<0$，需求对价格的弹性$E_P=b>1$。

设曲线$L$的方程为$y=f(x)$，且$y^{\prime \prime }>0$，又$MT,MP$分别为该曲线在点$M(x_0,y_0)$处的切线和法线。已知线段$MP$的长度为$\frac{[1+(y_0^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}{y_0^{\prime \prime }}$（其中$y_0^{\prime }=y^{\prime }(x_0),y_0^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }(x_0)$），试推导出点$P(\xi ,\eta )$的坐标表达式。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x^2}(1-\cos x),& x<0\\ 1,& x=0\\ \frac{1}{x}{\int }_0^x\cos t^2\mathrm{d}t,& x>0\end{array}$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\arctan \frac{1}{x^2},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，试讨论$f^{\prime }(x)$在$x=0$处的连续性。

设在$[0,1]$上$f^{\prime \prime }(x)>0$，则下列大小关系正确的是（　　）。

假设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上存在二阶导数，并且$g^{\prime \prime }(x)\ne 0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$。试证：

设函数$f(x)={\int }_0^{x^2}(2-t){\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$。

设$f(x)=\frac{1-x}{1+x}$，则$f^{(n)}(x)=$ 。

曲线$\{\begin{array}{l}x=1+t^2\\ y=t^3\end{array}$在$t=-2$对应点处的切线方程为 。

设$y=f(x+y)$，其中$f$具有二阶导数，且其一阶导数不等于$1$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设方程${\mathrm{e}}^{xy}+y^2=\cos x$确定$y$为$x$的函数，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=$ 。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=t-\ln (1+t)\\ y=t^3+t^2\end{array}$所确定，则$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=$ 。

已知$f^{\prime }(x_0)=-1$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}=$ 。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }[x-x^2\ln (1+\frac{1}{x})]$。

设当$x>0$时，方程$kx+\frac{1}{x^2}=1$有且仅有一个解，求$k$的取值范围。

设$y=f(x)$是满足微分方程$y^{\prime \prime }+y^{\prime }-{\mathrm{e}}^{\sin x}=0$的解，且$f^{\prime }(x_0)=0$，则$f(x)$在（　　）。

曲线$y={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x^2}}\arctan \frac{x^2+x+1}{(x+1)(x-2)}$的渐近线有（　　）。

假设由自动线加工的某种零件的内径$X$（毫米）服从正态分布$N(\mu ,1)$，内径小于$10$或大于$12$的为不合格品，其余为合格品。已知销售一个零件的利润$T$（元）与内径$X$的关系为$T=\{\begin{array}{ll}-1,& X<10\\ 20,& 10\le X\le 12\\ -5,& X>12\end{array}$。问平均内径$\mu$取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

$\underset{x\to 0}{\lim }\cot x(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x})=$ 。