真题库

设函数$f(x)$可导，且$f(0)=0$，$F(x)={\int }_0^x{t}^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t$。证明$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}=\frac{1}{2n}{f}^{\prime }(0)$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3}{x}^3,& x\le 1\\ x^2,& x>1\end{array}$，则$f(x)$在$x=1$处（　　）。

设$f(x)$在点$x=0$的某一邻域内具有二阶连续导数，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$，证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }f(\frac{1}{n})$绝对收敛。

假设$f(x)$在$[a,+\infty )$上连续，$f^{\prime \prime }(x)$在$(a,+\infty )$内存在且大于零，记$F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x>a)$。证明$F(x)$在$(a,+\infty )$内单调增加。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则方程${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_b^x\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t=0$在开区间$(a,b)$内的根有（　　）。

设$\{\begin{array}{l}x=\cos (t^2)\\ y=t\cos (t^2)-{\int }_1^{t^2}\frac{\cos u}{2\sqrt{u}}\mathrm{d}u\end{array}$。

设函数$y=\frac{x^3+4}{x^2}$。

设$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)-(ax+b{x}^2)}{x^2}=2$，则（　　）。

运用导数的知识作函数$y=(x+6){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$的图形。

设$y=\sin [f(x^2)]$，其中$f$具有二阶导数，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

已知某厂生产$x$件产品的成本为$C=25000+200x+\frac{1}{40}{x}^2$（元）。

设在$[0,+\infty )$上函数$f(x)$有连续导数，且$f^{\prime }(x)\ge k>0$，$f(0)<0$，证明$f(x)$在$(0,+\infty )$内有且仅有一个零点。

设$b>a>\mathrm{e}$，证明$a^b>b^a$。

已知$y=f(\frac{3x-2}{3x+2})$，$f^{\prime }(x)=\arctan x^2$，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=$ 。

函数$y=y(x)$由方程$\sin (x^2+y^2)+{\mathrm{e}}^x-x{y}^2=0$所确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=$ 。

函数$F(x)={\int }_1^x(2-\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t$（$x>0$）的单调减少区间为 。

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=$ 。

设某产品的成本函数为$C=a{q}^2+bq+c$，需求函数为$q=\frac{1}{e}(d-p)$，其中$C$为成本，$q$为需求量（即产量），$p$为单价，$a,b,c,d,e$都是正常数，且$d>b$。