真题库

作半径为$r$的球的外切正圆锥。

设$p,q$是大于$1$的常数，且$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。证明：对于任意$x>0$，有$\frac{1}{p}{x}^p+\frac{1}{q}\ge x$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{|x|}\sin \frac{1}{x^2},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，则$f(x)$在点$x=0$处（　　）。

假设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内二阶可导。过点$A(0,f(0))$与$B(1,f(1))$的直线与曲线$y=f(x)$相交于点$C(c,f(c))$，其中$0<c<1$。证明：在$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime \prime }(\xi )=0$。

设常数$k>0$，函数$f(x)=\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+k$在$(0,+\infty )$内的零点个数为（　　）。

设$x>0$，常数$a>\mathrm{e}$，证明：$(a+x{)}^a<a^{a+x}$。

设函数$f$在$[-1,1]$上连续，在$(-1,1)$内可导，且$f^{\prime }(x)=\arcsin x^2$。令$y=f(\frac{3x-2}{3x+2})$，则$y$在$x=0$处的右导数$y_{+}^{\prime }(0)=$ 。

求极限$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln \cos (x-1)}{1-\sin \frac{\pi x}{2}}$。

设曲线方程为$y={\mathrm{e}}^{-x}$（$x\ge 0$）。

设函数$y=y(x)$由方程$y-x{\mathrm{e}}^y=1$所确定，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=0}$的值。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{{\mathrm{e}}^x-\cos x}=$ 。

设生产某产品的固定成本为$10$，而当产量为$x$时的边际成本函数为$MC=-40-20x+3x^2$，边际收入函数为$MR=32+10x$。

当$x\to 0$时，$x-\sin x$是$x^2$的（　　）。

求曲线$y=\sqrt{x}$的一条切线$l$，使该曲线与切线$l$及直线$x=0$、$x=2$所围成的平面图形面积最小。

函数$y=x+2\cos x$在$[0,\frac{\pi }{2}]$上的最大值为 。

设$\{\begin{array}{l}x=f(t)-\pi \\ y=f({\mathrm{e}}^{3t}-1)\end{array}$，其中$f$可导，且$f^{\prime }(0)\ne 0$，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{t=0}=$ 。

当$x\to 0$时，下列四个无穷小量中，比其他三个更高阶的是（　　）。

求证：方程$x+p+q\cos x=0$恰有一个实根，其中$p,q$为常数，且$0<q<1$。

设$f(x)=3x^3+x^2|x|$，则使$f^{(n)}(0)$存在的最高阶数$n$为（　　）。

设$f^{\prime \prime }(x)<0$，$f(0)=0$。证明对任何$x_1>0,x_2>0$，有$f(x_1+x_2)<f(x_1)+f(x_2)$。