真题库

给定曲线$y=\frac{1}{x^2}$。

当$x\to 0$时，下面四个无穷小量中，比其他三个更高阶的是（　　）。

设商品的需求函数为$Q=100-5P$，其中$Q,P$分别表示需求量和价格。如果商品需求弹性的绝对值大于$1$，则商品价格的取值范围是 。

求证：当$x\ge 1$时，$\arctan x-\frac{1}{2}\arccos \frac{2x}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}$。

设$f(t)=\underset{x\to \infty }{\lim }t(\frac{x+t}{x-t}{)}^x$，则$f^{\prime }(t)=$ 。

设函数$y=y(x)$由方程${\mathrm{e}}^{x+y}+\cos (xy)=0$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=$ 。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^2}}$。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内有定义，$x_0\ne 0$是函数$f(x)$的极大值点，则（　　）。

证明不等式$\ln (1+\frac{1}{x})>\frac{1}{1+x}$（$0<x<+\infty$）。

曲线$y={\mathrm{e}}^{-x^2}$的上凸区间是 。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+\sqrt{1+x^2}{)}^{\frac{1}{x}}$。

设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$3{\int }_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0)$。证明在$(0,1)$内存在一点$c$，使$f^{\prime }(c)=0$。

利用导数证明：当$x>1$时，有不等式$\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}$。

如图，$A$和$D$分别是曲线$y={\mathrm{e}}^x$和$y={\mathrm{e}}^{-2x}$上的点，$AB$和$DC$均垂直于$x$轴，且$|AB|:|DC|=2:1$，$|AB|<1$。求点$B$和$C$的横坐标，使梯形$ABCD$的面积最大。

若曲线$y=x^2+ax+b$和$2y=-1+x{y}^3$在点$(1,-1)$处相切，其中$a,b$是常数，则（　　）。

设$\{\begin{array}{l}x=t\cos t\\ y=t\sin t\end{array}$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设曲线$f(x)=x^3+ax$与$g(x)=b{x}^2+c$都通过点$(-1,0)$，且在该点有公共切线。
$a=$ 。
$b=$ 。
$c=$ 。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^2({\mathrm{e}}^x-1)}$。

证明函数$f(x)=(1+\frac{1}{x}{)}^x$在区间$(0,+\infty )$内单调增加。

设$y=\ln (1+3^{-x})$，则$\mathrm{d}y=$ 。