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在过点$O(0,0)$和$A(\pi ,0)$的曲线族$y=a\sin x$（$a>0$）中，求一条曲线$L$，使沿该曲线从$O$到$A$的积分${\int }_L(1+y^3)\mathrm{d}x+(2x+y)\mathrm{d}y$的值最小。

曲线$y=\frac{1+{\mathrm{e}}^{-x^2}}{1-{\mathrm{e}}^{-x^2}}$（　　）。

下列各式中正确的是（　　）。

设$f(x)=x{\mathrm{e}}^x$。
$f^{(n)}(x)$在点$x=$ 处取极小值。
该极小值为 。

设$\{\begin{array}{l}x=1+t^2\\ y=\cos t\end{array}$，则$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=$ 。

在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的第一象限部分上求一点$P$，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小，其中$a>0,b>0$。

设不恒为常数的函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。证明在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^{\prime }(\xi )>0$。

曲线$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}$上对应于$t=\frac{\pi }{6}$的点处的法线方程是 。

设$y={\mathrm{e}}^{\tan \frac{1}{x}}\sin \frac{1}{x}$，则$y^{\prime }=$ 。

证明：当$x>0$时，有不等式$\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi }{2}$。

设函数$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x},& x\ne 0\\ f(0),& x=0\end{array}$，其中$f(x)$在$x=0$处可导，$f^{\prime }(0)\ne 0$，$f(0)=0$，则$x=0$是$F(x)$的（　　）。

设函数$f(x)$有连续的导函数，$f(0)=0,f^{\prime }(0)=b$。若函数$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)+a\sin x}{x},& x\ne 0\\ A,& x=0\end{array}$在$x=0$处连续，则常数$A=$ 。

过点$P(1,0)$作抛物线$y=\sqrt{x-2}$的切线，该切线与上述抛物线及$x$轴围成一个平面图形。求此图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积。

已知函数$f(x)$具有任意阶导数，且$f^{\prime }(x)=[f(x){]}^2$，则当$n$为大于$2$的正整数时，$f(x)$的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$是（　　）。

证明不等式$1+x\ln (x+\sqrt{1+x^2})\ge \sqrt{1+x^2}$，其中$-\infty <x<+\infty$。

已知$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x^2}{x+1}-ax-b)=0$，其中$a,b$是常数，则（　　）。

求曲线$y=\frac{1}{1+x^2}$（$x>0$）的拐点。

设函数$f(x)$对任意$x$均满足等式$f(1+x)=af(x)$，且有$f^{\prime }(0)=b$，其中$a,b$为非零常数，则（　　）。

求由方程$2y-x=(x-y)\ln (x-y)$所确定的函数$y=y(x)$的微分$\mathrm{d}y$。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x(1+t^2){\mathrm{e}}^{t^2-x^2}\mathrm{d}t$。