真题库

已知$f(x)$在$x=0$的某个邻域内连续，且$f(0)=0$，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$，则在点$x=0$处$f(x)$（　　）。

设$f(x)$在闭区间$[0,c]$上连续，其导数$f^{\prime }(x)$在开区间$(0,c)$内存在且单调减少，且$f(0)=0$。试应用拉格朗日中值定理证明不等式$f(a+b)\le f(a)+f(b)$，其中常数$a,b$满足条件$0\le a\le b\le a+b\le c$。

求函数$I(x)={\int }_{\mathrm{e}}^x\frac{\ln t}{t^2-2t+1}\mathrm{d}t$在区间$[\mathrm{e},{\mathrm{e}}^2]$上的最大值。

曲线$y=x+{\sin }^{2}x$在点$(\frac{\pi }{2},1+\frac{\pi }{2})$处的切线方程是 。

证明方程$\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-{\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\cos 2x}\mathrm{d}x$在区间$(0,+\infty )$内有且仅有两个不同实根。

当$x>0$时，曲线$y=x\sin \frac{1}{x}$（　　）。

若$3a^2-5b<0$，则方程$x^5+2a{x}^3+3bx+4c=0$（　　）。

已知$y=\arcsin {\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}$，求$y^{\prime }$。

曲线$y={\int }_0^x(t-1)(t-2)\mathrm{d}t$在点$(0,0)$处的切线方程是 。

设某厂家打算生产一批商品投放市场。已知该商品的需求函数为$P=P(x)=10{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$，且最大需求量为$6$，其中$x$表示需求量，$P$表示价格。

对函数$y=\frac{x+1}{x^2}$，填写下表：

设两函数$f(x)$及$g(x)$都在$x=a$处取得极大值，则函数$F(x)=f(x)g(x)$在$x=a$处（　　）。

设$f(x)=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)$，则$f^{\prime }(0)=$ 。

设$f(x)$在$x=a$的某个邻域内有定义，则$f(x)$在$x=a$可导的一个充分条件是（　　）。

某商品的需求量$Q$与价格$p$的函数关系为$Q=a{p}^b$，其中$a$和$b$为常数，且$a\ne 0$，则需求量对价格$p$的弹性是 。

假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f^{\prime }(x)\le 0$，记$F(x)=\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，证明在$(a,b)$内，$F^{\prime }(x)\le 0$。

设半径为$R$的球面$\Sigma$的球心在定球面$x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$上，问当$R$为何值时，球面$\Sigma$在定球面内部的那部分的面积最大？

设抛物线$y=a{x}^2+bx+c$过原点，当$0\le x\le 1$时$y\ge 0$，又已知该抛物线与$x$轴及直线$x=1$所围图形的面积为$\frac{1}{3}$，试确定$a,b,c$，使此图形绕$x$轴旋转一周而成的旋转体的体积$V$最小。

已知某企业的总收入函数为$R=26x-2x^2-4x^3$，总成本函数为$C=8x+x^2$，其中$x$表示产品的产量。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+{\mathrm{e}}^x{)}^{\frac{1}{x}}$。