真题库

已知$f^{\prime }(3)=2$，则$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(3-h)-f(3)}{2h}=$ 。

已知$\{\begin{array}{l}x=\ln (1+t^2)\\ y=\arctan t\end{array}$，求下列各项。

设$\tan y=x+y$，则$\mathrm{d}y=$ 。

已知函数$y=\frac{2x^2}{(1-x{)}^2}$，试求其单调区间、极值点及图形的凹凸性、拐点和渐近线，并画出函数的图形。

在曲线$y=x^2$（$x>0$）上某点$A$处作一切线，使之与曲线以及$x$轴所围图形的面积为$\frac{1}{12}$。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t$，$-\infty <x<+\infty$。
$f^{\prime }(x)=$ ；
$f(x)$的单调性： ；
$f(x)$的奇偶性： ；
$f(x)$图形的拐点： ；
$f(x)$图形的凹凸性： ；
$f(x)$图形的水平渐近线： 。

设$y=f(x)$是方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+4y=0$的一个解，若$f(x_0)>0$，且$f^{\prime }(x_0)=0$，则函数$f(x)$在点$x_0$（　　）。

若$f(t)=\underset{x\to \infty }{\lim }t(1+\frac{1}{x}{)}^{2tx}$，则$f^{\prime }(t)=$ 。

若$x_0$是函数$f(x)$的极值点，则必有$f^{\prime }(x_0)=0$（　　）。

已知$y=1+x{\mathrm{e}}^{xy}$。

若$f(x)$与$g(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上皆可导，且$f(x)<g(x)$，则必有（　　）。

确定常数$a$和$b$，使函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x>1\\ x^2,& x\le 1\end{array}$处处可导。

若函数$y=f(x)$可导，且有$f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{2}$，则当$\Delta x\to 0$时，该函数在$x=x_0$处的微分$\mathrm{d}y$是（　　）。

$\underset{x\to +0}{\lim }(\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^{\tan x}=$ 。

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内有$f^{\prime }(x)>0$。证明：在$(a,b)$内存在唯一的$\xi$，使曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=a$所围平面图形$S_1$是曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=b$所围平面图形面积$S_2$的$3$倍。

$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+6x+1$的图形在点$(0,1)$处切线与$x$轴交点的坐标是（　　）。

将长为$a$的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形。问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？

作函数$y=\frac{6}{x^2-2x+4}$的图形，并填写下表。

设$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}=-1$，则在点$x=a$处（　　）。

考虑函数$y=\sin x$，$0\le x\le \frac{\pi }{2}$（如图）。