真题库

考虑函数$y=x^2$，$0\le x\le 1$（如图）。

当$x=$ 时，函数$y=x{2}^x$取得极小值。

求正的常数$a$与$b$，使等式$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{bx-\sin x}{\int }_0^x\frac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}\mathrm{d}t=1$成立。

设$y=\ln (1+ax)$，其中$a$为非零常数。
$y^{\prime }=$ ，
$y^{\prime \prime }=$ 。

曲线$y=\arctan x$在横坐标为$1$的点处：
切线方程是 ；
法线方程是 。

若$f(x)$在$(a,b)$内可导，且导数$f^{\prime }(x)$恒大于零，证明$f(x)$在$(a,b)$内单调增加。

设$f(x)$在$x=a$处可导，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$等于（　　）。

在第一象限内，考虑曲线$y=-x^2+1$。

设$\{\begin{array}{l}x=5(t-\sin t)\\ y=5(1-\cos t)\end{array}$。

$y=\ln \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}$，求$y^{\prime }$。

若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，$x_1$和$x_2$是区间$(a,b)$内任意两点，且$x_1<x_2$，则至少存在一点$\xi$，使（　　）。

若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内严格单调增加，则对于区间$(a,b)$内的任何一点$x$有$f^{\prime }(x)>0$（　　）。

已知某商品的需求量$x$对价格$p$的弹性为$\eta =-3p^3$，而市场对该商品的最大需求量为$1$（万件），求需求函数。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x}-\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1})$。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上可微，对于$[0,1]$上的每一个$x$，$f(x)$的值都在开区间$(0,1)$内，且$f^{\prime }(x)\ne 1$。证明：在$(0,1)$内有且仅有一个$x$，使$f(x)=x$。

若$g(x)$在$x=c$处二阶导数存在，且$g^{\prime }(c)=0$，$g^{\prime \prime }(c)<0$。证明$g(c)$为$g(x)$的一个极大值。

假设某产品的总成本函数为$C(x)=400+3x+\frac{1}{2}{x}^2$，而需求函数为$p=\frac{100}{\sqrt{x}}$，其中$x$为产量（假定等于需求量），$p$为价格。