真题库

当$x\ge 0,y\ge 0$时，$x^2+y^2\le k{\mathrm{e}}^{x+y}$恒成立，则$k$的取值范围是 。

已知函数$y=y(x)$由方程$x^2+xy+y^3=3$确定，则$y^{\prime \prime }(1)=$ 。

设函数$f(x)=\sec x$在$x=0$处的 2 次泰勒多项式为$1+ax+b{x}^2$，则（　　）。

已知函数$f(x)=\frac{x|x|}{1+x}$，求曲线$y=f(x)$的凹凸区间及渐近线。

设函数$f(x)=\frac{\sin x}{1+x^2}$在$x=0$处的 3 次泰勒多项式为$ax+b{x}^2+c{x}^3$，则（　　）。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}+t+1\\ y=4(t-1){\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}+t^2\end{array}$所确定，则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{t=0}=$ 。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t}{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{\sin x})$。

有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为$2\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}},-3\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$。当底面半径为$10\mathrm{cm}$、高为$5\mathrm{cm}$时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（　　）。

函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1}{x},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$在$x=0$处（　　）。

设函数$f(x)=ax-b\ln x(a>0)$有两个零点，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）。

函数$y=y(x)(x>0)$满足微分方程$x{y}^{\prime }-6y=-6$，且$y(\sqrt{3})=10$。

若$y=\cos {\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}$，则$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}{|}_{x=1}=$ 。

曲线$x+y+{\mathrm{e}}^{2xy}=0$在点$(0,-1)$处的切线方程为 。

已知$a,b$为常数，若$(1+\frac{1}{n}{)}^n-\mathrm{e}$与$\frac{b}{n^a}$在$n\to \infty$时是等价无穷小，求$a,b$。

已知函数$f(x)=x^2\ln (1-x)$，当$n\ge 3$时，$f^{(n)}(0)=$（　　）。

设函数$f(x)$在区间$(-1,1)$内有定义，且$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$，则（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}]=$ 。

设$\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+1},\\ y=\ln (t+\sqrt{t^2+1}),\end{array}$则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{t=1}=$ 。

求曲线$y=\frac{x^{1+x}}{(1+x{)}^x}(x>0)$的斜渐近线方程。

设函数$f(x)={\int }_1^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t$。