真题库

设某厂家生产某产品的产量为$Q$，成本$C(Q)=100+13Q$，该产品的单价为$p$，需求量$Q(p)=\frac{800}{p+3}-2$，则该厂家获得最大利润时的产量为 。

设函数$f(x)$在区间$[-2,2]$上可导，且$f^{\prime }(x)>f(x)>0$，则（　　）。

设函数$f(x)$在区间$[0,2]$上具有连续导数，$f(0)=f(2)=0$，$M={\max }_{x\in [0,2]}\{|f(x)|\}$。

已知函数$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，且$f(0)=0,f(1)=1,{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=1$。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+xy={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(0)=0$的特解。

曲线$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}$在$t=\frac{3\pi }{2}$对应点处的切线在$y$轴的截距为 。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}x|x|,& x\le 0\\ x\ln x,& x>0\end{array}$，则$x=0$是$f(x)$的（　　）。

以$P_A,P_B$分别表示$A,B$两个商品的价格。设商品$A$的需求函数$Q_A=500-P_A^2-P_A{P}_B+2P_B^2$，则当$P_A=10,P_B=20$时，商品$A$的需求量对自身价格弹性${\eta }_{AA}({\eta }_{AA}>0)=$ 。

曲线$y=x\sin x+2\cos x$（$-\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{2}$）的拐点坐标是 。

设函数$f(x),g(x)$的二阶导函数在$x=a$处连续，则$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-g(x)}{(x-a{)}^2}=0$是两条曲线$y=f(x),y=g(x)$在$x=a$对应的点处相切及曲率相等的（　　）。

已知方程$x^5-5x+k=0$有三个不同的实根，则$k$的取值范围是（　　）。

曲线$y=x\sin x+2\cos x(-\frac{\pi }{2}<x<2\pi )$的拐点是（　　）。

当$x\to 0$时，若$x-\tan x$与$x^k$是同阶无穷小，则$k=$（　　）。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2x},& x>0\\ x{\mathrm{e}}^x+1,& x\le 0\end{array}$

已知曲线$L:y=\frac{4}{9}{x}^2(x\ge 0)$，点$O(0,0)$，点$A(0,1)$。设$P$是$L$上的动点，$S$是直线$OA$与直线$AP$及曲线$L$所围图形的面积。若$P$运动到$(3,4)$时沿$x$轴正向的速度是$4$，求此时$S$关于时间$t$的变化率。

曲线$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}$在$t=\frac{\pi }{4}$对应点的曲率为 。

设函数$f(x)$在$[0,1]$上二阶可导，且${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，则（　　）。

已知常数$k\ge \ln 2-1$，证明：$(x-1)(x-{\ln }^{2}x+2k\ln x-1)\ge 0$。

若$\underset{x\to 0}{\lim }({\mathrm{e}}^x+a{x}^2+bx{)}^{\frac{1}{x^2}}=1$，则（　　）。

曲线$y=x^2+2\ln x$在其拐点处的切线方程是 。