真题库

某产品的成本函数$C(Q)$可导，其中$Q$为产量，若产量为$Q_0$时平均成本最小，则（　　）。

设函数$f(x)$满足$f(x+\Delta x)-f(x)=2xf(x)\Delta x+o(\Delta x)$，且$f(0)=2$，则$f(1)=$ 。

下列函数中，在$x=0$处不可导的是（　　）。

已知实数$a,b$满足$\underset{x\to +\infty }{\lim }[(ax+b){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}-x]=2$，求$a,b$。

若函数$f(x)$可导，且$f(x)f^{\prime }(x)>0$，则（　　）。

已知方程$\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}=k$在区间$(0,1)$内有实根，求$k$的范围。

若级数$\sum _{n=2}^{\infty }[\sin \frac{1}{n}-k\ln (1-\frac{1}{n})]$收敛，则$k=$（　　）。

已知函数$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，则$f^{(3)}(0)=$ 。

已知函数$y(x)$由方程$x^3+y^3-3x+3y-2=0$确定，求$y(x)$的极值。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上具有二阶导数，且$f(1)>0$，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}<0$。证明：

设二阶可导函数$f(x)$满足$f(1)=f(-1)=1$，$f(0)=-1$，且$f^{\prime \prime }(x)>0$，则（　　）。

设生产某产品的平均成本$\overline{C}(Q)=1+{\mathrm{e}}^{-Q}$，其中$Q$为产量，则边际成本为 。

曲线$y=x(1+\arcsin \frac{2}{x})$的斜渐近线方程为 。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=t+{\mathrm{e}}^t\\ y=\sin t\end{array}$确定，则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{t=0}=$ 。

设函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=(2x+1){\mathrm{e}}^{2x-y},f(0,y)=y+1$。$L_t$是从点$(0,0)$到点$(1,t)$的光滑曲线，计算曲线积分$I(t)={\int }_{L_t}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\mathrm{d}y$，并求$I(t)$的最小值。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos 2x+2x\sin x{)}^{\frac{1}{x^4}}$。

曲线$y=\frac{x^3}{1+x^2}+\arctan (1+x^2)$的斜渐近线方程为 。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\le 0,\\ \frac{1}{n},& \frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n},n=1,2,\dots ,\end{array}$，则（　　）。

设函数$f(x)={\int }_0^1|t^2-x^2|\mathrm{d}t(x>0)$，求$f^{\prime }(x)$并求$f(x)$的最小值。

已知动点$P$在曲线$y=x^3$上运动，记坐标原点与点$P$间的距离为$l$。若点$P$的横坐标对时间的变化率为常数$v_0$，则当点$P$运动到点$(1,1)$时，$l$对时间的变化率是 。