真题库

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，其导函数的图形如图所示，则（　　）。

设函数$f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a{x}^2}$，且$f^{\prime \prime \prime }(0)=1$，则$a=$ 。

设函数$f_i(x)(i=1,2)$具有二阶连续导数，且$f_i^{\prime \prime }(x_0)<0(i=1,2)$。若两条曲线$y=f_i(x)(i=1,2)$在点$(x_0,y_0)$处具有公切线$y=g(x)$，且在该点处曲线$y=f_1(x)$的曲率大于曲线$y=f_2(x)$的曲率，则在$x_0$的某个邻域内，有（　　）。

设某商品的最大需求量为$1200$件，该商品的需求函数为$Q=Q(p)$，需求弹性$\eta =\frac{p}{120-p}(\eta >0)$，$p$为单价（万元）。

已知函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续，且$f(x)=(x+1{)}^2+2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则当$n\ge 2$时，$f^{(n)}(0)=$ 。

已知$f(x)$在$[0,\frac{3\pi }{2}]$上连续，在$(0,\frac{3\pi }{2})$内是函数$\frac{\cos x}{2x-3\pi }$的一个原函数，且$f(0)=0$。

设函数$f(x)=x+a\ln (1+x)+bx\sin x,g(x)=k{x}^3$，若$f(x)$与$g(x)$在$x\to 0$时是等价无穷小，求$a,b,k$的值。

函数$f(x)=x^2\cdot 2^x$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)=$ 。

已知函数$f(x)={\int }_x^1\sqrt{1+t^2}\mathrm{d}t+{\int }_1^{x^2}\sqrt{1+t}\mathrm{d}t$，求$f(x)$的零点个数。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，其中二阶导数$f^{\prime \prime }(x)$的图形如图所示，则曲线$y=f(x)$的拐点个数为（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \cos x}{x^2}=$ 。

设$x=\arctan t,y=3t+t^3$，则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{t=1}=$ 。

为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设$Q$为该商品的需求量，$P$为价格，$MC$为边际成本，$\eta$为需求弹性（$\eta >0$）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{\alpha }\cos \frac{1}{x^{\beta }},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$其中$\alpha >0,\beta >0$。若$f^{\prime }(x)$在$x=0$处连续，则（　　）。

已知函数$f(x)$在区间$[a,+\infty )$上具有$2$阶导数，$f(a)=0,f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0$。设$b>a$，曲线$y=f(x)$在点$(b,f(b))$处的切线与$x$轴的交点是$(x_0,0)$，证明$a<x_0<b$。

设函数$f(x)$具有二阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x$，则在区间$[0,1]$上（　　）。

设函数$y=f(x)$由方程$y^3+x{y}^2+x^{2}y+6=0$确定，求$f(x)$的极值。

已知函数$y=y(x)$满足微分方程$x^2+y^2{y}^{\prime }=1-y^{\prime }$，且$y(2)=0$，求$y(x)$的极大值和极小值。

设函数$f(x)=\arctan x$，若$f(x)=x{f}^{\prime }(\xi )$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\xi }^2}{x^2}=$（　　）。