真题库

设$p(x)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3$，当$x\to 0$时，若$p(x)-\tan x$是比$x^3$高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（　　）。

曲线$\{\begin{array}{l}x=t^2+7,\\ y=t^2+4t+1\end{array}$上对应于$t=1$的点处的曲率半径是（　　）。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_1^x[t^2({\mathrm{e}}^{\frac{1}{t}}-1)-t]\mathrm{dt}}{x^2\ln (1+\frac{1}{x})}$。

设某商品的需求函数为$Q=40-2P$（$P$为商品价格），则该商品的边际收益为 。

曲线$L$的极坐标方程为$r=\theta$，则$L$在点$(r,\theta )=(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$处的切线方程为 。

下列曲线有渐近线的是（　　）。

曲线$\{\begin{array}{l}x=\arctan t,\\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}$上对应于$t=1$的点处的法线方程为 。

设奇函数$f(x)$在$[-1,1]$上具有二阶导数，且$f(1)=1$。

已知$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arctan x}{x^k}=c$，其中$c\ne 0$，则（　　）。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=0$，且$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$。证明：

$\underset{x\to 0}{\lim }(2-\frac{\ln (1+x)}{x}{)}^{\frac{1}{x}}=$ 。

设$f(x)$由$y-x={\mathrm{e}}^{x(1-y)}$确定，则$\underset{n\to \infty }{\lim }n(f(\frac{1}{n})-1)=$ 。

设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为$P=60-\frac{Q}{1000}$（$P$是单价，单位：元；$Q$是销量，单位：件），已知产销平衡。

当$x\to 0$时，$1-\cos x\cos 2x\cos 3x$与$a{x}^n$为等价无穷小，求$n$与$a$的值。

设曲线$y=f(x)$和$y=x^2-x$在点$(1,0)$处有公共的切线，则$\underset{n\to \infty }{\lim }nf(\frac{n}{n+2})=$ 。

$\{\begin{array}{l}x=\sin t,\\ y=t\sin t+\cos t\end{array}$，则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}=$ 。

设函数$y=f(x)$由方程$\cos (xy)+\ln y-x=1$确定，则$\underset{n\to \infty }{\lim }n[f(\frac{2}{n})-1]=$（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x,& 0\le x<\pi ,\\ 2,& \pi \le x\le 2\pi ,\end{array}$，$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

设函数$f(x)={\int }_{-1}^x\sqrt{1-{\mathrm{e}}^t}\mathrm{d}t$，则$y=f(x)$的反函数$x=f^{-1}(y)$在$y=0$处的导数$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}{|}_{y=0}=$ 。

设函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$。