真题库

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\ln (1+x)}{x}{)}^{\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}}$。

已知函数$F(x)=\frac{{\int }_0^x\ln (1+t^2)\mathrm{d}t}{x^a}$，设$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)=0$，求$a$的取值范围。

函数$f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$的驻点个数为（　　）。

曲线$y=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x-4{)}^4$的拐点是（　　）。

设可导函数$y=y(x)$由方程${\int }_0^{x+y}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t={\int }_0^{x}x\sin t^2\mathrm{d}t$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=$ 。

求函数$f(x)={\int }_1^{x^2}(x^2-t){\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$的单调区间与极值。

设函数$f(x),g(x)$具有二阶导数，且$g^{\prime \prime }(x)<0$，若$g(x_0)=a$是$g(x)$的极值，则$f(g(x))$在$x_0$取极大值的一个充分条件是（　　）。

曲线$y=x^2$与曲线$y=a\ln x(a\ne 0)$相切，则$a=$（　　）。

函数$y=\ln (1-2x)$在$x=0$处的$n$阶导数$y^{(n)}(0)=$ 。

设函数$f(x)$在$[0,3]$上连续，在$(0,3)$内存在二阶导数，且$2f(0)={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=f(2)+f(3)$

若$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{1}{x}-(\frac{1}{x}-a){\mathrm{e}}^x]=1$，则$a$等于（　　）。

若曲线$y=x^3+a{x}^2+bx+1$有拐点$(-1,0)$，则$b=$ 。

设$\{\begin{array}{l}x={\mathrm{e}}^{-t},\\ y={\int }_0^t\ln (1+u^2)\mathrm{d}u\end{array}$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{t=0}=$ 。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=\frac{1}{3}$。证明：存在$\xi \in (0,\frac{1}{2}),\eta \in (\frac{1}{2},1)$，使得$f^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )={\xi }^2+{\eta }^2$。

曲线$y=\frac{2x^3}{x^2+1}$的渐近线方程为 。

已知一个长方形的长$l$以$2\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$的速率增加，宽$w$以$3\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$的速率增加，则当$l=12\mathrm{cm},w=5\mathrm{cm}$时，它的对角线增加的速率为 。

设某商品的收益函数为$R(p)$，收益弹性为$1+p^3$，其中$p$为价格，且$R(1)=1$，则$R(p)=$ 。

设函数$y=f(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=2t+t^2,\\ y=\psi (t)\end{array}(t>-1)$所确定，其中$\psi (t)$具有$2$阶导数，且$\psi (1)=\frac{5}{2},{\psi }^{\prime }(1)=6$。已知$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{3}{4(1+t)}$，求函数$\psi (t)$。

设某产品的需求函数为$Q=Q(p)$，其对价格$p$的弹性${\epsilon }_p=0.2$，则当需求量为$10000$件时，价格增加$1$元会使产品收益增加 元。