真题库

若$3a^2-5b<0$，则方程$x^5+2a{x}^3+3bx+4c=0$（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }x\cot 2x=$ 。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}{)}^x$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}a+b{x}^2,& x\le 0\\ \frac{\sin bx}{x},& x>0\end{array}$在$x=0$处连续，则常数$a$与$b$应满足的关系是 。

设某厂家打算生产一批商品投放市场。已知该商品的需求函数为$P=P(x)=10{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$，且最大需求量为$6$，其中$x$表示需求量，$P$表示价格。

已知某企业的总收入函数为$R=26x-2x^2-4x^3$，总成本函数为$C=8x+x^2$，其中$x$表示产品的产量。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+{\mathrm{e}}^x{)}^{\frac{1}{x}}$。

设$f(x)=2^x+3^x-2$，则当$x\to 0$时（　　）。

求$\underset{x\to 0}{\lim }(2\sin x+\cos x{)}^{\frac{1}{x}}$。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t$，$-\infty <x<+\infty$。
$f^{\prime }(x)=$ ；
$f(x)$的单调性： ；
$f(x)$的奇偶性： ；
$f(x)$图形的拐点： ；
$f(x)$图形的凹凸性： ；
$f(x)$图形的水平渐近线： 。

若$f(t)=\underset{x\to \infty }{\lim }t(1+\frac{1}{x}{)}^{2tx}$，则$f^{\prime }(t)=$ 。

已知$f(x)={\mathrm{e}}^{x^2}$，$f[\varphi (x)]=1-x$且$\varphi (x)\ge 0$。

若极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$与$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)g(x)$都存在，则极限$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$必存在（　　）。

若$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^x(\sin x+\cos x),& x>0\\ 2x+a,& x\le 0\end{array}$是$(-\infty ,+\infty )$上的连续函数，则$a=$ 。

求极限$\underset{x\to 1}{\lim }(1-x^2)\tan \frac{\pi x}{2}$。

若函数$y=f(x)$可导，且有$f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{2}$，则当$\Delta x\to 0$时，该函数在$x=x_0$处的微分$\mathrm{d}y$是（　　）。

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内有$f^{\prime }(x)>0$。证明：在$(a,b)$内存在唯一的$\xi$，使曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=a$所围平面图形$S_1$是曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=b$所围平面图形面积$S_2$的$3$倍。

已知某商品的需求量$D$和供给量$S$都是价格$p$的函数：$D=D(p)=\frac{a}{p^2},S=S(p)=bp$，其中$a>0$和$b>0$为常数；价格$p$是时间$t$的函数且满足方程$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=k[D(p)-S(p)]$（$k$为正的常数）。假设当$t=0$时价格为$1$。

求极限$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^x-1}{x\ln x}$。

函数$f(x)=x\sin x$（　　）。