真题库

函数$f(x)=\frac{({\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}+\mathrm{e})\tan x}{x({\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e})}$在$[-\pi ,\pi ]$上的第一类间断点是$x=$（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln (1+x)}{1-\cos x}=$ 。

设$f(x,y)=\frac{y}{1+xy}-\frac{1-y\sin (\pi \frac{x}{y})}{\arctan x}$，$x>0,y>0$，求：

$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}=$ 。

设数列$\{x_n\}$满足$0<x_1<\pi ,x_{n+1}=\sin x_n(n=1,2,\dots )$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^3}{\int }_0^x\sin t^2\mathrm{d}t,& x\ne 0,\\ a,& x=0.\end{array}$在$x=0$处连续，则$a=$ 。

以下四个命题中，正确的是（　　）。

已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=1$。证明：

极限$\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin \frac{2x}{x^2+1}=$ 。

设函数$f(x)=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\frac{x}{(x-1)}}-1}$，则（　　）。

当$x\to 0$时，$\alpha (x)=k{x}^2$与$\beta (x)=\sqrt{1+x\arcsin x}-\sqrt{\cos x}$是等价无穷小，则$k=$ 。

当$a$取下列哪个值时，函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x-a$恰好有两个不同的零点（　　）。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有定义，在区间$[0,2]$上，$f(x)=x(x^2-4)$，若对任意的$x$都满足$f(x)=kf(x+2)$，其中$k$为常数。

曲线$y=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$与直线$x=0$，$x=t$（$t>0$）及$y=0$围成一曲边梯形。该曲边梯形绕$x$轴旋转一周得一旋转体，其体积为$V(t)$，侧面积为$S(t)$，在$x=t$处的底面积为$F(t)$。

设$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内有定义，且$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=a$，$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(\frac{1}{x}),& x\ne 0;\\ 0,& x=0.\end{array}$则（　　）。

函数$f(x)=\frac{|x|\sin (x-2)}{x(x-1)(x-2{)}^2}$在下列哪个区间内有界（　　）。

若$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{{\mathrm{e}}^x-a}(\cos x-b)=5$，则
$a=$ ，
$b=$ 。

设有方程$x^n+nx-1=0$，其中$n$为正整数。证明此方程存在惟一正实根$x_n$，并证明当$\alpha >1$时，级数$\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^{\alpha }$收敛。

设$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n-1)x}{n{x}^2+1}$，则$f(x)$的间断点为$x=$ 。

把$x\to 0^{+}$时的无穷小量$\alpha ={\int }_0^x\cos t^2\mathrm{d}t$，$\beta ={\int }_0^{x^2}\tan \sqrt{t}\mathrm{d}t$，$\gamma ={\int }_0^{\sqrt{x}}\sin t^3\mathrm{d}t$排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（　　）。