真题库

已知$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内可导，且$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\mathrm{e}$，$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+c}{x-c}{)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-f(x-1)]$，求$c$的值。

对于极限$\underset{t\to x}{\lim }(\frac{\sin t}{\sin x}{)}^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$，记其值为$f(x)$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& |x|\le 1,\\ 0,& |x|>1\end{array}$，则$f\{f[f(x)]\}$等于（　　）。

设函数$f(x)=\frac{x}{a+{\mathrm{e}}^{bx}}$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，且$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$，则常数$a,b$满足（　　）。

若$a>0$，$b>0$均为常数，则$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{a^x+b^x}{2}{)}^{\frac{3}{x}}=$ 。

已知$f(x)$是周期为$5$的连续函数，它在$x=0$的某个邻域内满足关系式$f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+\alpha (x)$，其中$\alpha (x)$是当$x\to 0$时比$x$高阶的无穷小，且$f(x)$在$x=1$处可导，求曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线方程。

设对任意的$x$，总有$\phi (x)\le f(x)\le g(x)$，且$\underset{x\to \infty }{\lim }[g(x)-\phi (x)]=0$，则$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$（　　）。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{2+{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})$。

设函数$f(x)$在$[0,\pi ]$上连续，且${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x=0$，${\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x=0$。试证：在$(0,\pi )$内至少存在两个不同的点${\xi }_1,{\xi }_2$，使$f({\xi }_1)=f({\xi }_2)=0$。

设函数$S(x)={\int }_0^x|\cos t|\mathrm{d}t$。

设有微分方程$y^{\prime }-2y=\phi (x)$，其中$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}2,& x<1,\\ 0,& x>1.\end{array}$试求在$(-\infty ,+\infty )$内的连续函数$y=y(x)$，使之在$(-\infty ,1)$和$(1,+\infty )$内都满足所给方程，且满足条件$y(0)=0$。

“对任意给定的$\epsilon \in (0,1)$，总存在正整数$N$，当$n\ge N$时，恒有$|x_n-a|\le 2\epsilon$”是数列$\{x_n\}$收敛于$a$的（　　）。

设$\alpha (x)={\int }_0^x{\sin }^{5}t\mathrm{d}t$，$\beta (x)=\frac{1}{5}{\int }_0^x\frac{t^5}{1+\sin t}\mathrm{d}t$，则当$x\to 0$时，$\alpha (x)$是$\beta (x)$的（　　）。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1$。完成下列证明：

设$f(x)$是区间$[0,+\infty )$上单调减少且非负的连续函数，$a_n=\sum _{k=1}^{n}f(k)-{\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x(n=1,2,\dots )$。证明数列$\{a_n\}$的极限存在。

曲线$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$的切线与$x$轴和$y$轴围成一个图形，记切点的横坐标为$a$。完成下列各问：

设函数$f(x)=a^x$（$a>0,a\ne 1$），则$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\ln [f(1)f(2)\cdots f(n)]=$ 。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }(n\tan \frac{1}{n}{)}^{n^2}$（$n$为自然数）。

设曲线$f(x)=x^n$在点$(1,1)$处的切线与$x$轴的交点为$({\xi }_n,0)$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }f({\xi }_n)=$ 。

设$f(x)=(1+x{)}^{\frac{x}{\tan (x-\frac{\pi }{4})}}$，考察区间$(0,2\pi )$。