真题库

设$a_n=\frac{3}{2}{\int }_0^{\frac{n}{n+1}}{x}^{n-1}\sqrt{1+x^n}\mathrm{d}x$，则极限$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$等于（　　）。

计算${\int }_{\mathrm{e}}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x{\ln }^{2}x}=$ 。

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线$l$为对称轴，闸门的上部为矩形$ABCD$，下部由二次抛物线与线段$AB$所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为$5:4$，闸门矩形部分的高$h$应为多少$mathrmm$？

位于曲线$y=x{\mathrm{e}}^{-x}(0\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界图形的面积是 。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}[\sqrt{1+\cos \frac{\pi }{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2\pi }{n}}+\cdots +\sqrt{1+\cos \frac{n\pi }{n}}]=$ 。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x[{\int }_0^{u^2}\arctan (1+t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}u}{x(1-\cos x)}$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+\frac{3}{2}{x}^2,& -1\le x<0\\ \frac{x{\mathrm{e}}^x}{({\mathrm{e}}^x+1{)}^2},& 0\le x\le 1\end{array}$，求函数$F(x)={\int }_{-1}^{x}f(t)\mathrm{d}t$的表达式。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，且$g(x)>0$。利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点$\xi \in [a,b]$，使${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$。

设$D_1$是由抛物线$y=2x^2$和直线$x=a$、$x=2$及$y=0$所围成的平面区域；$D_2$是由抛物线$y=2x^2$和直线$y=0$、$x=a$所围成的平面区域，其中$0<a<2$。

已知$f(x)$的一个原函数为${\ln }^{2}x$，则$\int x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=$ 。

设实函数$f$在$(0,1)$上定义，且对任意$0<t<\frac{\pi }{2}$，有$f({\sin }^{2}t)=\frac{t}{\sin t}$。求$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)\mathrm{d}x$，其中$0<x<1$。

求微分方程$x\mathrm{d}y+(x-2y)\mathrm{d}x=0$的一个解$y=y(x)$，使得由曲线$y=y(x)$与直线$x=1$、$x=2$以及$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周的旋转体体积最小。

设$f(x)$在区间$[-a,a](a>0)$上具有二阶连续导数，$f(0)=0$。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=0$，且其反函数为$g(x)$。若${\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t=x^2{\mathrm{e}}^x$，求$f(x)$。

设$\rho =\rho (x)$是抛物线$y=\sqrt{x}$上任一点$M(x,y)(x\ge 1)$处的曲率半径，$s=s(x)$是该抛物线上介于点$A(1,1)$与$M$之间的弧长，计算$3\rho \frac{{\mathrm{d}}^2\rho }{\mathrm{d}{s}^2}-(\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}s}{)}^2$的值。在直角坐标系下，曲率公式为$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$。

求$\int \frac{\arctan {\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{d}x$。

设有一高度为$h(t)$（$t$为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程$z=h(t)-\frac{2(x^2+y^2)}{h(t)}$（长度单位为厘米，时间单位为小时）。已知体积减少的速率与侧面积成正比，比例系数为$0.9$，问高度为$130$厘米的雪堆全部融化需多少小时？

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{(2x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$。

已知抛物线$y=p{x}^2+qx(p<0,q>0)$在第一象限与直线$x+y=5$相切，且此抛物线与$x$轴所围成的平面图形的面积为$S$。

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(x^3+{\sin }^{2}x){\cos }^{2}x\mathrm{d}x=$ 。