真题库

设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)(x>0)$到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$(\frac{1}{2},0)$。

设函数$g(x)={\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$，其中$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(x^2+1),& 0\le x\le 1,\\ \frac{1}{3}(x-1),& 1<x\le 2.\end{array}$则$g(x)$在区间$(0,2)$内（　　）。

设函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内连续，$f(1)=\frac{5}{2}$，且对所有$x,t\in (0,+\infty )$，满足条件${\int }_1^{xt}f(u)\mathrm{d}u=t{\int }_1^{x}f(u)\mathrm{d}u+x{\int }_1^{t}f(u)\mathrm{d}u$。求$f(x)$。

函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=1$且满足等式$f^{\prime }(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=0$。

设$f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$，计算$\int f(x)\mathrm{d}x$。

设$xOy$平面上有正方形$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$及直线$l:x+y=t(t\ge 0)$。若$S(t)$表示正方形$D$位于直线$l$左下方部分的面积，试求${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t(x\ge 0)$。

计算$I={\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{1+x}+{\mathrm{e}}^{3-x}}$。

设曲线$y=a{x}^2(a>0,x\ge 0)$与$y=1-x^2$交于点$A$，过坐标原点$O$和点$A$的直线与曲线$y=a{x}^2$围成一平面图形，该图形绕$x$轴旋转一周。

${\int }_2^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(x+7)\sqrt{x-2}}=$ 。

${\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x=$ 。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2-x}}=$ 。

$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$ 。

设函数$S(x)={\int }_0^x|\cos t|\mathrm{d}t$。

计算${\int }_1^{+\infty }\frac{\arctan x}{x^2}\mathrm{d}x$。

为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图）。已知井深$30\mathrm{m}$，抓斗自重$400\mathrm{N}$，缆绳每米重$50\mathrm{N}$，抓斗抓起的污泥重$2000\mathrm{N}$，提升速度为$3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$；提升过程中，污泥以$20\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{s}}$的速度从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？说明：$1\mathrm{N}\times 1\mathrm{m}=1\mathrm{J}$；抓斗高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x\sin ((x-t{)}^2)\mathrm{d}t=$ 。

设函数$f(x)$连续，且${\int }_0^{x}tf(2x-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\arctan x^2$。已知$f(1)=1$，求${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$的值。

$\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}\mathrm{d}x=$ 。

函数$y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$在区间$[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$上的平均值为 。

设$f(x)$是连续函数，$F(x)$是$f(x)$的原函数，则（　　）。