真题库

由曲线$y=x^2-2x,y=0,x=1,x=3$围成一个平面图形。

${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+4x+8}=$ 。

已知函数$f(x)$连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$。设$\phi (x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$，完成下列各问：

设$F(x)={\int }_x^{x+2\pi }{\mathrm{e}}^{\sin t}\sin t\mathrm{d}t$，则$F(x)$（　　）。

若$f(x)=\frac{1}{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$，则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=$ 。

${\int }_{-1}^1(x+\sqrt{1-x^2}{)}^2\mathrm{d}x=$ 。

计算${\int }_0^{\ln 2}\sqrt{1-{\mathrm{e}}^{-2x}}\mathrm{d}x$。

设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为$2a,2b$，用过此柱体底面的短轴与底面成$\alpha$角（$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）的平面截此柱体，得一楔形体（见图）。求此楔形体的体积$V$。

计算${\int }_0^{+\infty }\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}\mathrm{d}x$。

设$f(x),g(x)$在区间$[a,b]$上连续，$g(x)<f(x)<m$（$m$为常数）。由曲线$y=g(x),y=f(x),x=a,x=b$所围平面图形绕直线$y=m$旋转而成的旋转体体积为（　　）。

设$\int xf(x)\mathrm{d}x=\arcsin x+C$，则$\int \frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x=$ 。

设$f(x)$为连续函数，$a$为正常数。

设$f(x)$有连续的导数，$f(0)=0,f^{\prime }(0)\ne 0,F(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f(t)\mathrm{d}t$，且当$x\to 0$时，$F^{\prime }(x)$与$x^k$是同阶无穷小，则$k$等于（　　）。

已知一抛物线通过$x$轴上的两点$A(1,0),B(3,0)$，且其轴平行于$y$轴。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}$。

计算不定积分$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x$。

由曲线$y=x+\frac{1}{x}$、直线$x=2$及$y=2$所围图形的面积$S=$ 。

求心形线$r=a(1+\cos \theta )$的全长，其中$a>0$是常数。

设$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{1+x}{x}{)}^{ax}={\int }_{-\infty }^{a}t{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$，则常数$a=$ 。

设$f(x^2-1)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$，且$f[\varphi (x)]=\ln x$，求$\int \varphi (x)\mathrm{d}x$。