真题库

曲线$y=x(x-1)(2-x)$与$x$轴所围图形的面积可表示为（　　）。

设单位质点在水平面内作直线运动，以初始运动方向为正方向，初速度$v(0)=v_0>0$。质点所受水平方向的力只有阻力，阻力方向与速度相反，大小与速率成正比，比例常数为$1$，时间$t\ge 0$。

设$f(x)$、$g(x)$在区间$[-a,a]$（$a>0$）上连续，$g(x)$为偶函数，且$f(x)+f(-x)=A$（$A$为常数）。

设$f(x)={\int }_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}\mathrm{d}t$，求${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$。

已知连续函数$f(x)$满足$f(x)={\int }_0^{3x}f(\frac{t}{3})\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{2x}$，求$f(x)$。

求摆线$\{\begin{array}{l}x=1-\cos t\\ y=t-\sin t\end{array}$一拱（$0\le t\le 2\pi$）的弧长。

求不定积分$\int (\arcsin x{)}^2\mathrm{d}x$。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{x^2}^{0}x\cos (t^2)\mathrm{d}t=$ 。

设$f^{\prime }(\ln x)=1+x$，则$f(x)=$ 。

下列广义积分发散的是（　　）。

如图，设曲线方程为$y=x^2+\frac{1}{2}$，梯形$OABC$的面积为$D$，曲边梯形$OABC$的面积为$D_1$，点$A$的坐标为$(a,0)$（$a>0$）。证明$\frac{D}{D_1}<\frac{3}{2}$。

设函数$f(x)$可导，且$f(0)=0$，$F(x)={\int }_0^x{t}^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t$，求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}$。

设$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{1+x^2}{\cos }^{4}x\mathrm{d}x$，$N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{3}x+{\cos }^{4}x)\mathrm{d}x$，$P={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(x^2{\sin }^{3}x-{\cos }^{4}x)\mathrm{d}x$，则有（　　）。

设$\frac{\sin x}{x}$是$f(x)$的一个原函数，求$\int x^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x}$。

${\int }_{-2}^2\frac{x+|x|}{2+x^2}\mathrm{d}x=$ 。

已知点$A$与$B$的直角坐标分别为$(1,0,0)$与$(0,1,1)$。线段$AB$绕$z$轴旋转一周所围成的旋转曲面为$S$。求由$S$及两平面$z=0$、$z=1$所围成的立体体积。

设函数$y=y(x)$满足条件$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0\\ y(0)=2,y^{\prime }(0)=-4\end{array}$，求广义积分${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$。

$\int x^3{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x=$ 。

设$f$在包含$[-1,1]$的某个开区间上连续，则$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[{\int }_0^{\cos 3x}f(t)\mathrm{d}t]=$ 。