真题库

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x^2,& x\le 0\\ {\mathrm{e}}^{-x},& x>0\end{array}$，求${\int }_1^{3}f(x-2)\mathrm{d}x$。

设曲线方程为$y={\mathrm{e}}^{-x}$（$x\ge 0$）。

设生产某产品的固定成本为$10$，而当产量为$x$时的边际成本函数为$MC=-40-20x+3x^2$，边际收入函数为$MR=32+10x$。

求曲线$y=\sqrt{x}$的一条切线$l$，使该曲线与切线$l$及直线$x=0$、$x=2$所围成的平面图形面积最小。

求$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x$。

求连续函数$f(x)$，使它满足${\int }_0^{1}f(tx)\mathrm{d}t=f(x)+x\sin x$。

设$F(x)=\frac{x^2}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，其中$f(x)$为连续函数，则$\underset{x\to a}{\lim }F(x)$等于（　　）。

计算曲线$y=\ln (1-x^2)$上相对于$0\le x\le \frac{1}{2}$的一段弧的长度。

若$f(x)$的导函数是$\sin x$，且$f(0)=-1$，则$f(x)$有一个原函数为（　　）。

由曲线$y=x{\mathrm{e}}^x$与直线$y=\mathrm{e}x$所围成的图形的面积$S=$ 。

求连续函数$f(x)$，使它满足$f(x)+2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=x^2$。

求${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}\mathrm{d}x$。

求$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{x^2}(x^2-t)f(t)\mathrm{d}t$，其中$f(t)$为已知的连续函数。

计算$I=\int \frac{\mathrm{arccot}{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x$。

设$f(x)$连续，$F(x)={\int }_0^{x^2}f(t^2)\mathrm{d}t$，则$F^{\prime }(x)$等于（　　）。

质点以速度$t\sin (t^2)$米/秒作直线运动，则从时刻$t_1=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$秒到$t_2=\sqrt{\pi }$秒质点所经过的路程等于 米。

如图，$x$轴上有一线密度为常数$\mu$、长度为$l$的细杆，有一质量为$m$的质点到杆右端的距离为$a$，已知引力系数为$k$，则质点和细杆之间引力的大小为（　　）。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x=$ 。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内满足$f(x)=f(x-\pi )+\sin x$，且$f(x)=x$（$x\in [0,\pi )$），计算${\int }_{\pi }^{3\pi }f(x)\mathrm{d}x$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& 0\le x\le 1\\ 2-x,& 1<x\le 2\end{array}$，记$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，$0\le x\le 2$，则（　　）。