真题库

曲线$y=(x-1)(x-2)$和$x$轴围成一平面图形，求此平面图形绕$y$轴旋转一周所成的旋转体的体积。

求不定积分$I=\int \frac{x^2}{1+x^2}\arctan x\mathrm{d}x$。

计算${\int }_1^4\frac{\mathrm{d}x}{x(1+\sqrt{x})}$。

若连续函数$f(x)$满足关系式$f(x)={\int }_0^{2x}f(\frac{t}{2})\mathrm{d}t+\ln 2$，则$f(x)$等于（　　）。

求定积分$I={\int }_{-1}^1(2x+|x|+1{)}^2\mathrm{d}x$。

计算反常积分${\int }_3^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(x-1{)}^4\sqrt{x^2-2x}}$。

求$\int x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x$。

曲线$L_1:y=1-x^2$（$0\le x\le 1$）、$x$轴和$y$轴所围区域被曲线$L_2:y=a{x}^2$分为面积相等的两部分，其中$a$是大于零的常数，试确定$a$的值。

在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的第一象限部分上求一点$P$，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小，其中$a>0,b>0$。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续，则$\mathrm{d}[\int f(x)\mathrm{d}x]$等于（　　）。

过点$P(1,0)$作抛物线$y=\sqrt{x-2}$的切线，该切线与上述抛物线及$x$轴围成一个平面图形。求此图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积。

曲线$y=x^2$与直线$y=x+2$所围成的平面图形的面积为 。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x(1+t^2){\mathrm{e}}^{t^2-x^2}\mathrm{d}t$。

设$f(x)={\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t$，其中$x>0$，求$f(x)+f(\frac{1}{x})$。

求${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{(2-x{)}^2}\mathrm{d}x$。

下列两个积分的大小关系是：${\int }_{-2}^{-1}{\mathrm{e}}^{-x^3}\mathrm{d}x$ ${\int }_{-2}^{-1}{\mathrm{e}}^{x^3}\mathrm{d}x$。

求不定积分$\int \frac{x{\cos }^4\frac{x}{2}}{{\sin }^{3}x}\mathrm{d}x$。

计算$\int \frac{\ln x}{(1-x{)}^2}\mathrm{d}x$。

${\int }_0^{1}x\sqrt{1-x}\mathrm{d}x=$ 。

设$f(x)$是连续函数，且$F(x)={\int }_x^{{\mathrm{e}}^{-x}}f(t)\mathrm{d}t$，则$F^{\prime }(x)$等于（　　）。