真题库

设$f(x)=\sin x-{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$，其中$f$为连续函数，求$f(x)$。

曲线$y=\cos x$（$-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$）与$x$轴所围成的图形，绕$x$轴旋转一周所成的旋转体的体积为（　　）。

${\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t=$ 。

求不定积分$\int \frac{x+\ln (1-x)}{x^2}\mathrm{d}x$。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le 1\\ 2-x,& 1\le x\le 2\end{array}$，计算下列各项。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{x{\ln }^{2}x}$。

假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f^{\prime }(x)\le 0$，记$F(x)=\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，证明在$(a,b)$内，$F^{\prime }(x)\le 0$。

设$f(x)$是连续函数，且$f(x)=x+2{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t$，则$f(x)=$ 。

设抛物线$y=a{x}^2+bx+c$过原点，当$0\le x\le 1$时$y\ge 0$，又已知该抛物线与$x$轴及直线$x=1$所围图形的面积为$\frac{1}{3}$，试确定$a,b,c$，使此图形绕$x$轴旋转一周而成的旋转体的体积$V$最小。

在下列等式中，正确的结果是（　　）。

已知$f(2)=\frac{1}{2}$，$f^{\prime }(2)=0$及${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=1$，求${\int }_0^1{x}^2{f}^{\prime \prime }(2x)\mathrm{d}x$。

在曲线$y=x^2$（$x>0$）上某点$A$处作一切线，使之与曲线以及$x$轴所围图形的面积为$\frac{1}{12}$。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t$，$-\infty <x<+\infty$。
$f^{\prime }(x)=$ ；
$f(x)$的单调性： ；
$f(x)$的奇偶性： ；
$f(x)$图形的拐点： ；
$f(x)$图形的凹凸性： ；
$f(x)$图形的水平渐近线： 。

等式${\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_0^{a}f(a-x)\mathrm{d}x$对任何实数$a$都成立（　　）。

设$x\ge -1$，求${\int }_{-1}^x(1-|t|)\mathrm{d}t$。

${\int }_0^4{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$ 。

设$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有连续导数，且$m\le f(x)\le M$。

设$f$在$[0,+\infty )$上连续，且对任意$x\ge 1$，有${\int }_0^{x^3-1}f(t)\mathrm{d}t=x-1$，则$f(7)=$ 。

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内有$f^{\prime }(x)>0$。证明：在$(a,b)$内存在唯一的$\xi$，使曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=a$所围平面图形$S_1$是曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=b$所围平面图形面积$S_2$的$3$倍。

曲线$y={\sin }^{\frac{3}{2}}x$（$0\le x\le \pi$）与$x$轴围成的图形绕$x$轴旋转所形成的旋转体体积为（　　）。